存在反函數(shù)的函數(shù)一定單調(diào)嗎?為什么？反函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)。事實(shí)上，單調(diào)性是反函數(shù)存在的充要條件。如果函數(shù)是分段單調(diào)的，則可以分別處理每一段，并求出每一段的逆函數(shù)。但是我們應(yīng)該知道，一段的反函數(shù)不是整個(gè)域的反函數(shù)。對(duì)于連續(xù)函數(shù)，單調(diào)性是反函數(shù)存在的一個(gè)充要條件。如果你只是一個(gè)高中生，你需要理解上面的結(jié)論（你不需要記住它們），你不需要再看下去：這里有一個(gè)例子，證明了逆函數(shù)的存在，盡管函數(shù)不是單調(diào)的：設(shè)f是從R到R的映射。當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，f（x）=x，當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)一個(gè)無理數(shù)，f（x）=-x。用這種方法構(gòu)造的函數(shù)不是處處單調(diào)的，而是存在逆函數(shù)。單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)這句話對(duì)嗎？為什么？

不正確。只有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)函數(shù)才有反函數(shù)。雖然單調(diào)函數(shù)都是一對(duì)一的函數(shù)。但是一對(duì)一的函數(shù)并不一定是單調(diào)的。所以不僅單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。例如，如果f（x）=1/x，則該函數(shù)在定義域中不是單調(diào)的，而是一對(duì)一的對(duì)應(yīng)函數(shù)，因此也存在逆函數(shù)。換句話說，單調(diào)函數(shù)有逆函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù)的函數(shù)不一定有逆函數(shù)。所以這句話是錯(cuò)的。

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反函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)嗎？嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)？

是的，嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必須有反函數(shù)。

證明了：

設(shè)原函數(shù)為y=f（x），x=f-1（y），假設(shè)它沒有反函數(shù)，即f-1不是一個(gè)函數(shù)，所以有兩個(gè)不同的點(diǎn)X1和X2，

f-1（Y0）={X1，X2}導(dǎo)致Y0=f（X1）和Y0=f（X2）

設(shè)X1<x2，然后單調(diào)函數(shù)有

f（x1）<F（x2）或f（x1）>F（x2），即Y0<y0或Y0>y0。

有反函數(shù)為什么一定要是單調(diào)的？

如果有反函數(shù)，誰(shuí)說原來的函數(shù)必須是單調(diào)的不是很準(zhǔn)確。單調(diào)函數(shù)必須是逆函數(shù)。證明（在連續(xù)性的情況下），因?yàn)楹瘮?shù)的定義是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)于一個(gè)函數(shù)值（即X對(duì)應(yīng)于Y），函數(shù)的逆函數(shù)也必須滿足函數(shù)的定義，所以如果它不是單調(diào)函數(shù)（一個(gè)Y對(duì)應(yīng)于多個(gè)X），反函數(shù)定義反函數(shù)后會(huì)出現(xiàn)一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)多個(gè)函數(shù)值（一個(gè)X對(duì)應(yīng)多個(gè)y）的情況：在定義域中，如果任意一個(gè)X值，只有一個(gè)y值對(duì)應(yīng)，任意一個(gè)y值，只有一個(gè)X值對(duì)應(yīng)，函數(shù)將具有反函數(shù)。例如：y=1/X，它在整個(gè)域中不是單調(diào)的，但具有反函數(shù)。確切地說，如果一個(gè)函數(shù)有一個(gè)逆函數(shù)，并且函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的（直觀地說，它的圖像是一條連續(xù)曲線），那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)必須是嚴(yán)格單調(diào)的。它需要一點(diǎn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)來證明，但如果你能直觀地思考并畫出一幅圖，就很容易看出來。

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