如何用python作空間自回歸模型

基本形式

創(chuàng)新互聯(lián)建站專業(yè)為企業(yè)提供羅田網(wǎng)站建設(shè)、羅田做網(wǎng)站、羅田網(wǎng)站設(shè)計(jì)、羅田網(wǎng)站制作等企業(yè)網(wǎng)站建設(shè)、網(wǎng)頁(yè)設(shè)計(jì)與制作、羅田企業(yè)網(wǎng)站模板建站服務(wù)，10多年羅田做網(wǎng)站經(jīng)驗(yàn)，不只是建網(wǎng)站，更提供有價(jià)值的思路和整體網(wǎng)絡(luò)服務(wù)。

線性模型(linear model)就是試圖通過屬性的線性組合來進(jìn)行預(yù)測(cè)的函數(shù)，基本形式如下：

f(x)=wTx+b

許多非線性模型可在線性模型的基礎(chǔ)上通過引入層結(jié)構(gòu)或者高維映射（比如核方法）來解決。線性模型有很好的解釋性。

線性回歸

線性回歸要求均方誤差最小:

(w?,b?)=argmin∑i=1m(f(xi)?yi)2

均方誤差有很好的幾何意義，它對(duì)應(yīng)了常用的歐式距離(Euclidean distance)。基于均方誤差最小化來進(jìn)行模型求解稱為最小二乘法(least square method)，線性回歸中，最小二乘發(fā)就是試圖找到一條直線，使得所有樣本到直線的歐式距離之和最小。

我們把上式寫成矩陣的形式：

w?=argmin(y?Xw)T(y?Xw)

這里我們把b融合到w中，X中最后再加一列1。為了求最小值，我們對(duì)w求導(dǎo)并令其為0：

2XT(Xw?y)=0

當(dāng)XTX為滿秩矩陣(full-rank matrix)時(shí)是可逆的。此時(shí)：

w=(XTX)?1XTy

令xi=(xi,1)，可以得到線性回歸模型：

f(xi)=xTi(XTX)?1XTy

python多元線性回歸怎么計(jì)算

1、什么是多元線性回歸模型？

當(dāng)y值的影響因素不唯一時(shí),采用多元線性回歸模型。

y =y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn

例如商品的銷售額可能不電視廣告投入,收音機(jī)廣告投入,報(bào)紙廣告投入有關(guān)系,可以有 sales =β0+β1*TV+β2* radio+β3*newspaper.

2、使用pandas來讀取數(shù)據(jù)

pandas 是一個(gè)用于數(shù)據(jù)探索、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)處理的python庫(kù)

[python]?view plain?copy

import?pandas?as?pd

[html]?view plain?copy

pre?name="code"?class="python"#?read?csv?file?directly?from?a?URL?and?save?the?results

data?=?pd.read_csv('/home/lulei/Advertising.csv')

#?display?the?first?5?rows

data.head()

上面代碼的運(yùn)行結(jié)果：

TV ?Radio ?Newspaper ?Sales

0 ?230.1 ? 37.8 ? ? ? 69.2 ? 22.1

1 ? 44.5 ? 39.3 ? ? ? 45.1 ? 10.4

2 ? 17.2 ? 45.9 ? ? ? 69.3 ? ?9.3

3 ?151.5 ? 41.3 ? ? ? 58.5 ? 18.5

4 ?180.8 ? 10.8 ? ? ? 58.4 ? 12.9

上面顯示的結(jié)果類似一個(gè)電子表格，這個(gè)結(jié)構(gòu)稱為Pandas的數(shù)據(jù)幀(data frame)，類型全稱：pandas.core.frame.DataFrame.

pandas的兩個(gè)主要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：Series和DataFrame：

Series類似于一維數(shù)組，它有一組數(shù)據(jù)以及一組與之相關(guān)的數(shù)據(jù)標(biāo)簽(即索引)組成。

DataFrame是一個(gè)表格型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它含有一組有序的列，每列可以是不同的值類型。DataFrame既有行索引也有列索引，它可以被看做由Series組成的字典。

[python]?view plain?copy

#?display?the?last?5?rows

data.tail()

只顯示結(jié)果的末尾5行

?TV ?Radio ?Newspaper ?Sales

195 ? 38.2 ? ?3.7 ? ? ? 13.8 ? ?7.6

196 ? 94.2 ? ?4.9 ? ? ? ?8.1 ? ?9.7

197 ?177.0 ? ?9.3 ? ? ? ?6.4 ? 12.8

198 ?283.6 ? 42.0 ? ? ? 66.2 ? 25.5

199 ?232.1 ? ?8.6 ? ? ? ?8.7 ? 13.4

[html]?view plain?copy

#?check?the?shape?of?the?DataFrame(rows,?colums)

data.shape

查看DataFrame的形狀,注意第一列的叫索引，和數(shù)據(jù)庫(kù)某個(gè)表中的第一列類似。

(200,4)?

3、分析數(shù)據(jù)

特征：

TV：對(duì)于一個(gè)給定市場(chǎng)中單一產(chǎn)品，用于電視上的廣告費(fèi)用（以千為單位）

Radio：在廣播媒體上投資的廣告費(fèi)用

Newspaper：用于報(bào)紙媒體的廣告費(fèi)用

響應(yīng)：

Sales：對(duì)應(yīng)產(chǎn)品的銷量

在這個(gè)案例中，我們通過不同的廣告投入，預(yù)測(cè)產(chǎn)品銷量。因?yàn)轫憫?yīng)變量是一個(gè)連續(xù)的值，所以這個(gè)問題是一個(gè)回歸問題。數(shù)據(jù)集一共有200個(gè)觀測(cè)值，每一組觀測(cè)對(duì)應(yīng)一個(gè)市場(chǎng)的情況。

注意：這里推薦使用的是seaborn包。網(wǎng)上說這個(gè)包的數(shù)據(jù)可視化效果比較好看。其實(shí)seaborn也應(yīng)該屬于matplotlib的內(nèi)部包。只是需要再次的單獨(dú)安裝。

[python]?view plain?copy

import?seaborn?as?sns

import?matplotlib.pyplot?as?plt

#?visualize?the?relationship?between?the?features?and?the?response?using?scatterplots

sns.pairplot(data,?x_vars=['TV','Radio','Newspaper'],?y_vars='Sales',?size=7,?aspect=0.8)

plt.show()#注意必須加上這一句，否則無法顯示。

[html]?view plain?copy

這里選擇TV、Radio、Newspaper?作為特征，Sales作為觀測(cè)值

[html]?view plain?copy

返回的結(jié)果：

seaborn的pairplot函數(shù)繪制X的每一維度和對(duì)應(yīng)Y的散點(diǎn)圖。通過設(shè)置size和aspect參數(shù)來調(diào)節(jié)顯示的大小和比例。可以從圖中看出，TV特征和銷量是有比較強(qiáng)的線性關(guān)系的，而Radio和Sales線性關(guān)系弱一些，Newspaper和Sales線性關(guān)系更弱。通過加入一個(gè)參數(shù)kind='reg'，seaborn可以添加一條最佳擬合直線和95%的置信帶。

[python]?view plain?copy

sns.pairplot(data,?x_vars=['TV','Radio','Newspaper'],?y_vars='Sales',?size=7,?aspect=0.8,?kind='reg')

plt.show()

結(jié)果顯示如下：

4、線性回歸模型

優(yōu)點(diǎn)：快速；沒有調(diào)節(jié)參數(shù)；可輕易解釋；可理解。

缺點(diǎn)：相比其他復(fù)雜一些的模型，其預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率不是太高，因?yàn)樗僭O(shè)特征和響應(yīng)之間存在確定的線性關(guān)系，這種假設(shè)對(duì)于非線性的關(guān)系，線性回歸模型顯然不能很好的對(duì)這種數(shù)據(jù)建模。

線性模型表達(dá)式：?y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn?其中

y是響應(yīng)

β0是截距

β1是x1的系數(shù)，以此類推

在這個(gè)案例中：?y=β0+β1?TV+β2?Radio+...+βn?Newspaper

(1)、使用pandas來構(gòu)建X(特征向量)和y(標(biāo)簽列)

scikit-learn要求X是一個(gè)特征矩陣，y是一個(gè)NumPy向量。

pandas構(gòu)建在NumPy之上。

因此，X可以是pandas的DataFrame，y可以是pandas的Series，scikit-learn可以理解這種結(jié)構(gòu)。

[python]?view plain?copy

#create?a?python?list?of?feature?names

feature_cols?=?['TV',?'Radio',?'Newspaper']

#?use?the?list?to?select?a?subset?of?the?original?DataFrame

X?=?data[feature_cols]

#?equivalent?command?to?do?this?in?one?line

X?=?data[['TV',?'Radio',?'Newspaper']]

#?print?the?first?5?rows

print?X.head()

#?check?the?type?and?shape?of?X

print?type(X)

print?X.shape

輸出結(jié)果如下：

TV ?Radio ?Newspaper

0 ?230.1 ? 37.8 ? ? ? 69.2

1 ? 44.5 ? 39.3 ? ? ? 45.1

2 ? 17.2 ? 45.9 ? ? ? 69.3

3 ?151.5 ? 41.3 ? ? ? 58.5

4 ?180.8 ? 10.8 ? ? ? 58.4

class 'pandas.core.frame.DataFrame'

(200, 3)

[python]?view plain?copy

#?select?a?Series?from?the?DataFrame

y?=?data['Sales']

#?equivalent?command?that?works?if?there?are?no?spaces?in?the?column?name

y?=?data.Sales

#?print?the?first?5?values

print?y.head()

輸出的結(jié)果如下：

0 ? ?22.1

1 ? ?10.4

2 ? ? 9.3

3 ? ?18.5

4 ? ?12.9

Name: Sales

（2）、構(gòu)建訓(xùn)練集與測(cè)試集

[html]?view plain?copy

pre?name="code"?class="python"span?style="font-size:14px;"##構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集

from?sklearn.cross_validation?import?train_test_split??#這里是引用了交叉驗(yàn)證

X_train,X_test,?y_train,?y_test?=?train_test_split(X,?y,?random_state=1)

#default split is 75% for training and 25% for testing

[html]?view plain?copy

print?X_train.shape

print?y_train.shape

print?X_test.shape

print?y_test.shape

輸出結(jié)果如下：

(150, 3)

(150,)

(50, 3)

(50,)

注：上面的結(jié)果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道為什么我的版本的sklearn包中居然報(bào)錯(cuò)：

ImportError ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module() ? ? ?1 ###構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split ? ? ?3 #import sklearn.cross_validation ? ? ?4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1) ? ? ?5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

處理方法：1、我后來重新安裝sklearn包。再一次調(diào)用時(shí)就沒有錯(cuò)誤了。

2、自己寫函數(shù)來認(rèn)為的隨機(jī)構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集。(這個(gè)代碼我會(huì)在最后附上。)

（3）sklearn的線性回歸

[html]?view plain?copy

from?sklearn.linear_model?import?LinearRegression

linreg?=?LinearRegression()

model=linreg.fit(X_train,?y_train)

print?model

print?linreg.intercept_

print?linreg.coef_

輸出的結(jié)果如下：

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)

2.66816623043

[ 0.04641001 ?0.19272538 -0.00349015]

[html]?view plain?copy

#?pair?the?feature?names?with?the?coefficients

zip(feature_cols,?linreg.coef_)

輸出如下：

[('TV', 0.046410010869663267),

('Radio', 0.19272538367491721),

('Newspaper', -0.0034901506098328305)]

y=2.668+0.0464?TV+0.192?Radio-0.00349?Newspaper

如何解釋各個(gè)特征對(duì)應(yīng)的系數(shù)的意義？

對(duì)于給定了Radio和Newspaper的廣告投入，如果在TV廣告上每多投入1個(gè)單位，對(duì)應(yīng)銷量將增加0.0466個(gè)單位。就是加入其它兩個(gè)媒體投入固定，在TV廣告上每增加1000美元（因?yàn)閱挝皇?000美元），銷量將增加46.6（因?yàn)閱挝皇?000）。但是大家注意這里的newspaper的系數(shù)居然是負(fù)數(shù)，所以我們可以考慮不使用newspaper這個(gè)特征。這是后話，后面會(huì)提到的。

（4）、預(yù)測(cè)

[python]?view plain?copy

y_pred?=?linreg.predict(X_test)

print?y_pred

[python]?view plain?copy

print?type(y_pred)

輸出結(jié)果如下：

[ 14.58678373 ? 7.92397999 ?16.9497993 ? 19.35791038 ? 7.36360284

7.35359269 ?16.08342325 ? 9.16533046 ?20.35507374 ?12.63160058

22.83356472 ? 9.66291461 ? 4.18055603 ?13.70368584 ?11.4533557

4.16940565 ?10.31271413 ?23.06786868 ?17.80464565 ?14.53070132

15.19656684 ?14.22969609 ? 7.54691167 ?13.47210324 ?15.00625898

19.28532444 ?20.7319878 ? 19.70408833 ?18.21640853 ? 8.50112687

9.8493781 ? ?9.51425763 ? 9.73270043 ?18.13782015 ?15.41731544

5.07416787 ?12.20575251 ?14.05507493 ?10.6699926 ? ?7.16006245

11.80728836 ?24.79748121 ?10.40809168 ?24.05228404 ?18.44737314

20.80572631 ? 9.45424805 ?17.00481708 ? 5.78634105 ? 5.10594849]

type 'numpy.ndarray'

5、回歸問題的評(píng)價(jià)測(cè)度

(1) 評(píng)價(jià)測(cè)度

對(duì)于分類問題，評(píng)價(jià)測(cè)度是準(zhǔn)確率，但這種方法不適用于回歸問題。我們使用針對(duì)連續(xù)數(shù)值的評(píng)價(jià)測(cè)度(evaluation metrics)。

這里介紹3種常用的針對(duì)線性回歸的測(cè)度。

1)平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error, MAE)

(2)均方誤差(Mean Squared Error, MSE)

(3)均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)

這里我使用RMES。

[python]?view plain?copy

pre?name="code"?class="python"#計(jì)算Sales預(yù)測(cè)的RMSE

print?type(y_pred),type(y_test)

print?len(y_pred),len(y_test)

print?y_pred.shape,y_test.shape

from?sklearn?import?metrics

import?numpy?as?np

sum_mean=0

for?i?in?range(len(y_pred)):

sum_mean+=(y_pred[i]-y_test.values[i])**2

sum_erro=np.sqrt(sum_mean/50)

#?calculate?RMSE?by?hand

print?"RMSE?by?hand:",sum_erro

最后的結(jié)果如下：

type 'numpy.ndarray' class 'pandas.core.series.Series'

50 50

(50,) (50,)

RMSE by hand: 1.42998147691

（2）做ROC曲線

[python]?view plain?copy

import?matplotlib.pyplot?as?plt

plt.figure()

plt.plot(range(len(y_pred)),y_pred,'b',label="predict")

plt.plot(range(len(y_pred)),y_test,'r',label="test")

plt.legend(loc="upper?right")?#顯示圖中的標(biāo)簽

plt.xlabel("the?number?of?sales")

plt.ylabel('value?of?sales')

plt.show()

顯示結(jié)果如下：（紅色的線是真實(shí)的值曲線，藍(lán)色的是預(yù)測(cè)值曲線）

直到這里整個(gè)的一次多元線性回歸的預(yù)測(cè)就結(jié)束了。

6、改進(jìn)特征的選擇

在之前展示的數(shù)據(jù)中，我們看到Newspaper和銷量之間的線性關(guān)系竟是負(fù)關(guān)系（不用驚訝，這是隨機(jī)特征抽樣的結(jié)果。換一批抽樣的數(shù)據(jù)就可能為正了），現(xiàn)在我們移除這個(gè)特征，看看線性回歸預(yù)測(cè)的結(jié)果的RMSE如何？

依然使用我上面的代碼，但只需修改下面代碼中的一句即可：

[python]?view plain?copy

#create?a?python?list?of?feature?names

feature_cols?=?['TV',?'Radio',?'Newspaper']

#?use?the?list?to?select?a?subset?of?the?original?DataFrame

X?=?data[feature_cols]

#?equivalent?command?to?do?this?in?one?line

#X?=?data[['TV',?'Radio',?'Newspaper']]#只需修改這里即可pre?name="code"?class="python"?style="font-size:?15px;?line-height:?35px;"X?=?data[['TV',?'Radio']]??#去掉newspaper其他的代碼不變

# print the first 5 rowsprint X.head()# check the type and shape of Xprint type(X)print X.shape

最后的到的系數(shù)與測(cè)度如下：

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)

2.81843904823

[ 0.04588771 ?0.18721008]

RMSE by hand: 1.28208957507

然后再次使用ROC曲線來觀測(cè)曲線的整體情況。我們?cè)趯ewspaper這個(gè)特征移除之后，得到RMSE變小了，說明Newspaper特征可能不適合作為預(yù)測(cè)銷量的特征，于是，我們得到了新的模型。我們還可以通過不同的特征組合得到新的模型，看看最終的誤差是如何的。

備注：

之前我提到了這種錯(cuò)誤：

注：上面的結(jié)果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道為什么我的版本的sklearn包中居然報(bào)錯(cuò)：

ImportError ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module() ? ? ?1 ###構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split ? ? ?3 #import sklearn.cross_validation ? ? ?4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1) ? ? ?5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

處理方法：1、我后來重新安裝sklearn包。再一次調(diào)用時(shí)就沒有錯(cuò)誤了。

2、自己寫函數(shù)來認(rèn)為的隨機(jī)構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集。(這個(gè)代碼我會(huì)在最后附上。)

這里我給出我自己寫的函數(shù)：

python 嶺回歸

所求參數(shù)是alpha的函數(shù)，比如記為f(alpha),?f(alpha)隨alpha的改變的軌跡就是嶺跡。

實(shí)際計(jì)算中可選非常多的alpha值，做出一個(gè)嶺跡圖，看看這個(gè)圖在取哪個(gè)值的時(shí)候變穩(wěn)定了，

那就確定alpha值了，從而確定參數(shù)。

Ridge(alpha=1.0，?fit_intercept=False)

model.fit(x,y)

這樣就等于你算的，因?yàn)槟鉵umpy是用增廣矩陣算的，所以應(yīng)該將set?fit_intercept=False

model.coef_

array([[?1.06059732,??0.48614918,??0.44596739]])

如何用Python進(jìn)行線性回歸以及誤差分析

線性回歸：

設(shè)x,y分別為一組數(shù)據(jù)，代碼如下

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

ro=np.polyfit(x,y,deg=1) #deg為擬合的多項(xiàng)式的次數(shù)（線性回歸就選1）

ry=np.polyval(ro,x) #忘記x和ro哪個(gè)在前哪個(gè)在后了。。。

print ro #輸出的第一個(gè)數(shù)是斜率k，第二個(gè)數(shù)是縱截距b

plt.scatter(x,y)

plt.plot(x,ry)

python 的LinearRegression包，怎么導(dǎo)出回歸模型公式？

線性回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)算法中最簡(jiǎn)單的算法之一，它是監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種算法，主要思想是在給定訓(xùn)練集上學(xué)習(xí)得到一個(gè)線性函數(shù)，在損失函數(shù)的約束下，求解相關(guān)系數(shù)，最終在測(cè)試集上測(cè)試模型的回歸效果。

也就是說 LinearRegression 模型會(huì)構(gòu)造一個(gè)線性回歸公式

y' = w^T x + b

，其中 w 和 x 均為向量，w 就是系數(shù)，截距是 b，得分是根據(jù)真實(shí)的 y 值和預(yù)測(cè)值 y' 計(jì)算得到的。

如何用python實(shí)現(xiàn)含有虛擬自變量的回歸

利用python進(jìn)行線性回歸

理解什么是線性回歸

線性回歸也被稱為最小二乘法回歸（Linear Regression, also called Ordinary Least-Squares (OLS) Regression）。它的數(shù)學(xué)模型是這樣的：

y = a+ b* x＋e

其中，a 被稱為常數(shù)項(xiàng)或截距；b 被稱為模型的回歸系數(shù)或斜率；e 為誤差項(xiàng)。a 和 b 是模型的參數(shù)。

當(dāng)然，模型的參數(shù)只能從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出來：

y'= a' + b'* x

我們的目標(biāo)是選擇合適的參數(shù)，讓這一線性模型最好地?cái)M合觀測(cè)值。擬合程度越高，模型越好。

那么，接下來的問題就是，我們?nèi)绾闻袛鄶M合的質(zhì)量呢？

這一線性模型可以用二維平面上的一條直線來表示，被稱為回歸線。

模型的擬合程度越高，也即意味著樣本點(diǎn)圍繞回歸線越緊密。

如何計(jì)算樣本點(diǎn)與回歸線之間的緊密程度呢？

高斯和勒讓德找到的方法是：被選擇的參數(shù)，應(yīng)該使算出來的回歸線與觀測(cè)值之差的平房和最小。用函數(shù)表示為：

這被稱為最小二乘法。最小二乘法的原理是這樣的：當(dāng)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值距離的平方和最小時(shí)，就選定模型中的兩個(gè)參數(shù)（a 和 b）。這一模型并不一定反映解釋變量和反應(yīng)變量真實(shí)的關(guān)系。但它的計(jì)算成本低；相比復(fù)雜模型更容易解釋。

模型估計(jì)出來后，我們要回答的問題是：

我們的模型擬合程度如何？或者說，這個(gè)模型對(duì)因變量的解釋力如何？（R2）

整個(gè)模型是否能顯著預(yù)測(cè)因變量的變化？（F 檢驗(yàn)）

每個(gè)自變量是否能顯著預(yù)測(cè)因變量的變化？（t 檢驗(yàn)）

首先回答第一個(gè)問題。為了評(píng)估模型的擬合程度如何，我們必須有一個(gè)可以比較的基線模型。

如果讓你預(yù)測(cè)一個(gè)人的體重是多少？在沒有任何額外信息的情況下，你可能會(huì)用平均值來預(yù)測(cè)，盡管會(huì)存在一定誤差，但總比瞎猜好。

現(xiàn)在，如果你知道他的身高信息，你的預(yù)測(cè)值肯定與平均值不一樣。額外信息相比平均值更能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)被預(yù)測(cè)的變量的能力，就代表模型的解釋力大小。

上圖中，SSA 代表由自變量 x 引起的 y 的離差平方和，即回歸平方和，代表回歸模型的解釋力；SSE 代表由隨機(jī)因素引起的 y 的離差平方和，即剩余平方和，代表回歸模型未能解釋的部分；SST 為總的離差平方和，即我們僅憑 y 的平均值去估計(jì) y 時(shí)所產(chǎn)生的誤差。

用模型能夠解釋的變異除以總的變異就是模型的擬合程度：

R2=SSA/SST=1-SSE

R2（R 的平方）也被稱為決定系數(shù)或判定系數(shù)。

第二個(gè)問題，我們的模型是否顯著預(yù)測(cè)了 y 的變化？

假設(shè) y 與 x 的線性關(guān)系不明顯，那么 SSA 相對(duì) SSE 占有較大的比例的概率則越小。換句話說，在 y 與 x 無線性關(guān)系的前提下，SSA 相對(duì) SSE 的占比越高的概率是越小的，這會(huì)呈現(xiàn)一定的概率分布。統(tǒng)計(jì)學(xué)家告訴我們它滿足 F 分布，就像這樣：

如果 SSA 相對(duì) SSE 占比較大的情況出現(xiàn)了，比如根據(jù) F 分布，這個(gè)值出現(xiàn)的概率小于 5%。那么，我們最好是拒絕 y 與 x 線性關(guān)系不顯著的原始假設(shè)，認(rèn)為二者存在顯著的線性關(guān)系較為合適。

第三個(gè)問題，每個(gè)自變量是否能顯著預(yù)測(cè)因變量的變化？換句話說，回歸系數(shù)是否顯著？

回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是圍繞回歸系數(shù)的抽樣分布（t 分布）來進(jìn)行的，推斷過程類似于整個(gè)模型的檢驗(yàn)過程，不贅言。

實(shí)際上，對(duì)于只有一個(gè)自變量的一元線性模型，模型的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的檢驗(yàn)是一致的，但對(duì)于多元線性模型來說，二者就不能等價(jià)了。

利用 statsmodels 進(jìn)行最小二乘回歸

＃導(dǎo)入相應(yīng)模塊

In [1]: import numpy as np

In [2]: import pandas as pd

In [3]: import statsmodels.api as sm

＃將數(shù)據(jù)導(dǎo)入 pandas 的 dataframe 對(duì)象，第一列（年份）作為行標(biāo)簽

In [4]: df=pd.read_csv('/Users/xiangzhendong/Downloads/vincentarelbundock-Rdatasets-1218370/csv/datasets/longley.csv', index_col=0)

＃查看頭部數(shù)據(jù)

In [5]: df.head()

Out[5]:

GNP.deflator ? ? ?GNP ?Unemployed ?Armed.Forces ?Population ?Year ?\

1947 ? ? ? ? ?83.0 ?234.289 ? ? ? 235.6 ? ? ? ? 159.0 ? ? 107.608 ?1947

1948 ? ? ? ? ?88.5 ?259.426 ? ? ? 232.5 ? ? ? ? 145.6 ? ? 108.632 ?1948

1949 ? ? ? ? ?88.2 ?258.054 ? ? ? 368.2 ? ? ? ? 161.6 ? ? 109.773 ?1949

1950 ? ? ? ? ?89.5 ?284.599 ? ? ? 335.1 ? ? ? ? 165.0 ? ? 110.929 ?1950

1951 ? ? ? ? ?96.2 ?328.975 ? ? ? 209.9 ? ? ? ? 309.9 ? ? 112.075 ?1951

Employed

1947 ? ?60.323

1948 ? ?61.122

1949 ? ?60.171

1950 ? ?61.187

1951 ? ?63.221

＃設(shè)置預(yù)測(cè)變量和結(jié)果變量，用 GNP 預(yù)測(cè) Employed

In [6]: y=df.Employed ＃結(jié)果變量

In [7]: X=df.GNP ＃預(yù)測(cè)變量

＃為模型增加常數(shù)項(xiàng)，即回歸線在 y 軸上的截距

In [8]: X=sm.add_constant(X)

＃執(zhí)行最小二乘回歸，X 可以是 numpy array 或 pandas dataframe（行數(shù)等于數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，列數(shù)為預(yù)測(cè)變量個(gè)數(shù)），y 可以是一維數(shù)組（numpy array）或 pandas series

In [10]: est=sm.OLS(y,X)

使用 OLS 對(duì)象的 fit() 方法來進(jìn)行模型擬合

In [11]: est=est.fit()

＃查看模型擬合的結(jié)果

In [12]: est.summary()

Out[12]:

＃查看最終模型的參數(shù)

In [13]: est.params

Out[13]:

const ? ?51.843590

GNP ? ? ? 0.034752

dtype: float64

＃選擇 100 個(gè)從最小值到最大值平均分布（equally spaced）的數(shù)據(jù)點(diǎn)

In [14]: X_prime=np.linspace(X.GNP.min(), X.GNP.max(),100)[:,np.newaxis]

In [15]: X_prime=sm.add_constant(X_prime)

＃計(jì)算預(yù)測(cè)值

In [16]: y_hat=est.predict(X_prime)

In [17]: plt.scatter(X.GNP, y, alpha=0.3) ＃畫出原始數(shù)據(jù)

＃分別給 x 軸和 y 軸命名

In [18]: plt.xlabel("Gross National Product")

In [19]: plt.ylabel("Total Employment")

In [20]: plt.plot(X_prime[:,1], y_hat, 'r', alpha=0.9) ＃添加回歸線，紅色

多元線性回歸（預(yù)測(cè)變量不止一個(gè)）

我們用一條直線來描述一元線性模型中預(yù)測(cè)變量和結(jié)果變量的關(guān)系，而在多元回歸中，我們將用一個(gè)多維（p）空間來擬合多個(gè)預(yù)測(cè)變量。下面表現(xiàn)了兩個(gè)預(yù)測(cè)變量的三維圖形：商品的銷量以及在電視和廣播兩種不同媒介的廣告預(yù)算。

數(shù)學(xué)模型是：

Sales = beta_0 + beta_1＊TV + beta_2＊Radio

圖中，白色的數(shù)據(jù)點(diǎn)是平面上的點(diǎn)，黑色的數(shù)據(jù)點(diǎn)事平面下的點(diǎn)。平面的顏色是由對(duì)應(yīng)的商品銷量的高低決定的，高是紅色，低是藍(lán)色。

利用 statsmodels 進(jìn)行多元線性回歸

In [1]: import pandas as pd

In [2]: import numpy as np

In [3]: import statsmodels.api as sm

In [4]: df_adv=pd.read_csv('g.csv',index_col=0)

In [6]: X=df_adv[['TV','Radio']]

In [7]: y=df_adv['Sales']

In [8]: df_adv.head()

Out[8]:

TV ?Radio ?Newspaper ?Sales

1 ?230.1 ? 37.8 ? ? ? 69.2 ? 22.1

2 ? 44.5 ? 39.3 ? ? ? 45.1 ? 10.4

3 ? 17.2 ? 45.9 ? ? ? 69.3 ? ?9.3

4 ?151.5 ? 41.3 ? ? ? 58.5 ? 18.5

5 ?180.8 ? 10.8 ? ? ? 58.4 ? 12.9

In [9]: X=sm.add_constant(X)

In [10]: est=sm.OLS(y,X).fit()

In [11]: est.summary()

Out[11]:

你也可以使用 statsmodels 的 formula 模塊來建立多元回歸模型

In [12]: import statsmodels.formula.api as smf

In [13]: est=smf.ols(formula='Sales ~ TV + Radio',data=df_adv).fit()

處理分類變量

性別或地域都屬于分類變量。

In [15]: df= pd.read_csv('httd.edu/~tibs/ElemStatLearn/datasets/SAheart.data', index_col=0)

In [16]: X=df.copy()

利用 dataframe 的 pop 方法將 chd 列單獨(dú)提取出來

In [17]: y=X.pop('chd')

In [18]: df.head()

Out[18]:

sbp ?tobacco ? ldl ?adiposity ?famhist ?typea ?obesity ?alcohol ?\

row.names

1 ? ? ? ? ?160 ? ?12.00 ?5.73 ? ? ?23.11 ?Present ? ? 49 ? ?25.30 ? ?97.20

2 ? ? ? ? ?144 ? ? 0.01 ?4.41 ? ? ?28.61 ? Absent ? ? 55 ? ?28.87 ? ? 2.06

3 ? ? ? ? ?118 ? ? 0.08 ?3.48 ? ? ?32.28 ?Present ? ? 52 ? ?29.14 ? ? 3.81

4 ? ? ? ? ?170 ? ? 7.50 ?6.41 ? ? ?38.03 ?Present ? ? 51 ? ?31.99 ? ?24.26

5 ? ? ? ? ?134 ? ?13.60 ?3.50 ? ? ?27.78 ?Present ? ? 60 ? ?25.99 ? ?57.34

age ?chd

row.names

1 ? ? ? ? ? 52 ? ?1

2 ? ? ? ? ? 63 ? ?1

3 ? ? ? ? ? 46 ? ?0

4 ? ? ? ? ? 58 ? ?1

5 ? ? ? ? ? 49 ? ?1

In [19]: y.groupby(X.famhist).mean()

Out[19]:

famhist

Absent ? ? 0.237037

Present ? ?0.500000

Name: chd, dtype: float64

In [20]: import statsmodels.formula.api as smf

In [21]: df['famhist_ord']=pd.Categorical(df.famhist).labels

In [22]: est=smf.ols(formula="chd ~ famhist_ord", data=df).fit()

分類變量的編碼方式有許多，其中一種編碼方式是虛擬變量編碼（dummy－encoding），就是把一個(gè) k 個(gè)水平的分類變量編碼成 k－1 個(gè)二分變量。在 statsmodels 中使用 C 函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

In [24]: est=smf.ols(formula="chd ~ C(famhist)", data=df).fit()

In [26]: est.summary()

Out[26]:

處理交互作用

隨著教育年限（education）的增長(zhǎng)，薪酬 (wage) 會(huì)增加嗎？這種影響對(duì)男性和女性而言是一樣的嗎？

這里的問題就涉及性別與教育年限的交互作用。

換言之，教育年限對(duì)薪酬的影響是男女有別的。

＃導(dǎo)入相關(guān)模塊

In [1]: import pandas as pd

In [2]: import numpy as np

In [4]: import statsmodels.api as sm

＃導(dǎo)入數(shù)據(jù)，存入 dataframe 對(duì)象

In [5]: df=pd.read_csv('/Users/xiangzhendong/Downloads/pydatafromweb/wages.csv')

In [6]: df[['Wage','Education','Sex']].tail()

Out[6]:

Wage ?Education ?Sex

529 ?11.36 ? ? ? ? 18 ? ?0

530 ? 6.10 ? ? ? ? 12 ? ?1

531 ?23.25 ? ? ? ? 17 ? ?1

532 ?19.88 ? ? ? ? 12 ? ?0

533 ?15.38 ? ? ? ? 16 ? ?0

由于性別是一個(gè)二分變量，我們可以繪制兩條回歸線，一條是 sex＝0（男性），一條是 sex＝1（女性）

＃繪制散點(diǎn)圖

In [7]: plt.scatter(df.Education,df.Wage, alpha=0.3)

In [9]: plt.xlabel('education')

In [10]: plt.ylabel('wage')

＃linspace 的作用是生成從最小到最大的均勻分布的 n 個(gè)數(shù)

In [17]: education_linspace=np.linspace(df.Education.min(), df.Education.max(),100)

In [12]: import statsmodels.formula.api as smf

In [13]: est=smf.ols(formula='Wage ~ Education + Sex', data=df).fit()

In [18]: plt.plot(education_linspace, est.params[0]+est.params[1]education_linspace+est.params[2]0, 'r')

In [19]: plt.plot(education_linspace, est.params[0]+est.params[1]education_linspace+est.params[2]1, 'g')

以上兩條線是平行的。這是因?yàn)榉诸愖兞恐挥绊懟貧w線的截距，不影響斜率。

接下來我們可以為回歸模型增加交互項(xiàng)來探索交互效應(yīng)。也就是說，對(duì)于兩個(gè)類別，回歸線的斜率是不一樣的。

In [32]: plt.scatter(df.Education,df.Wage, alpha=0.3)

In [33]: plt.xlabel('education')

In [34]: plt.ylabel('wage')

＃使用＊代表我們的回歸模型中除了交互效應(yīng)，也包括兩個(gè)變量的主效應(yīng)；如果只想看交互效應(yīng)，可以用：代替，但通常不會(huì)只看交互效應(yīng)

In [35]: est=smf.ols(formula='Wage ~ Sex*Education', data=df).fit()

In [36]: plt.plot(education_linspace, est.params[0]+est.params[1]0+est.params[2]education_linspace+est.params[3]0education_linspace, 'r')

In [37]: plt.plot(education_linspace, est.params[0]+est.params[1]1+est.params[2]education_linspace+est.params[3]1education_linspace, 'g')

參考資料：

DataRobot | Ordinary Least Squares in Python

DataRoboe | Multiple Regression using Statsmodels

AnalyticsVidhya | 7 Types of Regression Techniques you should know!

網(wǎng)站名稱：python回歸線函數(shù),python回歸算法有哪些
鏈接分享：http://chinadenli.net/article7/dsejgoj.html

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