“冰雹猜想”

冰雹猜想

創(chuàng)新互聯(lián)服務(wù)項(xiàng)目包括張灣網(wǎng)站建設(shè)、張灣網(wǎng)站制作、張灣網(wǎng)頁(yè)制作以及張灣網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷策劃等。多年來(lái)，我們專注于互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)，利用自身積累的技術(shù)優(yōu)勢(shì)、行業(yè)經(jīng)驗(yàn)、深度合作伙伴關(guān)系等，向廣大中小型企業(yè)、政府機(jī)構(gòu)等提供互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的解決方案，張灣網(wǎng)站推廣取得了明顯的社會(huì)效益與經(jīng)濟(jì)效益。目前，我們服務(wù)的客戶以成都為中心已經(jīng)輻射到張灣省份的部分城市，未來(lái)相信會(huì)繼續(xù)擴(kuò)大服務(wù)區(qū)域并繼續(xù)獲得客戶的支持與信任！

1976年的一天，于頭版頭條報(bào)道了一條數(shù)學(xué)新聞。文中記敘了這樣一個(gè)故事：

70年代中期，美國(guó)各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲。這個(gè)游戲十分簡(jiǎn)單：任意寫(xiě)出一個(gè)自然數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：

如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3N+1。

如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成N/2。

不單單是學(xué)生，甚至連教師、研究員、教授與學(xué)究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，無(wú)論N是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終都無(wú)法逃脫回到谷底1。準(zhǔn)確地說(shuō)，是無(wú)法逃出落入底部的4-2-1循環(huán)，永遠(yuǎn)也逃不出這樣的宿命。

如果從2n出發(fā)，不論n如何龐大，就像瀑布一樣迅速墜落。而其他的數(shù)字即使不是如此，在經(jīng)過(guò)若干次的變換之后也必然會(huì)到4-2-1的循環(huán)。據(jù)日本和美國(guó)的數(shù)學(xué)家攻關(guān)研究，在小于7*1011的所有的自然數(shù)，都符合這個(gè)規(guī)律。

這就是著名的“冰雹猜想”。

冰雹的最大魅力在于不可預(yù)知性。英國(guó)劍橋大學(xué)教授John Conway找到了一個(gè)自然數(shù)27。雖然27是一個(gè)貌不驚人的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進(jìn)行運(yùn)算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過(guò)77步驟的變換到達(dá)頂峰值9232，然后又經(jīng)過(guò)32步驟到達(dá)谷底值1。全部的變換過(guò)程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達(dá)到了原有數(shù)字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來(lái)比較，則具有同樣雹程的數(shù)字N要達(dá)到2的111次方。其對(duì)比何其驚人！

但是在1到100的范圍內(nèi)，像27這樣的劇烈波動(dòng)是沒(méi)有的（54除外，他和27只有一步之遙）。

經(jīng)過(guò)游戲的驗(yàn)證規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)僅僅在兼具4k和3m+1（k,m為自然數(shù)）處的數(shù)字才能產(chǎn)生冰雹猜想中“樹(shù)”的分叉。所以在冰雹樹(shù)中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節(jié)，產(chǎn)生出一支新的支流。

自從Conway發(fā)現(xiàn)了神奇的27之后，有專家指出，27這個(gè)數(shù)字必定只能由54變來(lái)，54又必然從108變來(lái)，所以，27之上，肯定可以出現(xiàn)不亞于2n的強(qiáng)大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1數(shù)列和本流2到4-2-1數(shù)列要遙遠(yuǎn)的多。按照機(jī)械唯物論的觀點(diǎn)，從27開(kāi)始逆流而上的數(shù)列群才能叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點(diǎn)，一般依然把1-2-4-8……2n的這一支看作是“干流”。

圖論專家據(jù)此闡述了一種獨(dú)特的方法：把數(shù)列群比作是一棵樹(shù)，4-2-1數(shù)列是連理枝，至于上面的分支構(gòu)成了一個(gè)奇妙的數(shù)列通路，包含了所有的自然數(shù)。但是非常可惜的是，這個(gè)理論至今也沒(méi)有人可以證明。所以“冰雹猜想”還是數(shù)學(xué)皇冠上一顆尚未鑒別的寶珠。

又稱為角谷猜想，因?yàn)槭且粋€(gè)名叫角谷的日本人把它傳到中國(guó)

數(shù)學(xué)的猜想.

對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)A,

(1)a.如果A為偶數(shù),就除以2

b.如果A為奇數(shù),就乘以3加上1

得數(shù)記為B

(2)將B代入A重新進(jìn)行(1)的運(yùn)算

若干步后,得數(shù)為1.

這個(gè)猜想,目前沒(méi)有反例,也沒(méi)有證明.

但也有許多人曾經(jīng)嘗試去求證這個(gè)問(wèn)題：

最簡(jiǎn)單的證明角谷（3n+1）猜想的方法

因?yàn)槿魏闻紨?shù)都能變成2^a或一個(gè)奇數(shù)乘2^b。前者在不停的除以2之后必定為1，因?yàn)樗鼈冎挥匈|(zhì)因數(shù)2。而后者則只能剩下一個(gè)奇數(shù)，我們可以把偶數(shù)放在一邊不談。

現(xiàn)在只剩下奇數(shù)了。

我們假設(shè)一個(gè)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：

當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；

當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；

當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；

當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；

……………………

可見(jiàn)，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒(méi)有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。

還有一種

本文應(yīng)用二項(xiàng)式定理，證明了角谷猜想（3n+1）是成立的。

介紹

從任何一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，連續(xù)進(jìn)行如下運(yùn)算：

若是奇數(shù)，就把這個(gè)數(shù)乘以3再加1；若是偶數(shù)，就把這個(gè)數(shù)除以2。一直按這個(gè)規(guī)則算下去，到最后一定會(huì)出現(xiàn)4、2、1的循環(huán)。

比如，要是從1開(kāi)始，就可以得到1→4→2→1；要是從17開(kāi)始，則可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。自然地，有人可能會(huì)問(wèn)：是不是每一個(gè)正整數(shù)按這樣的規(guī)則演算下去都能得到1呢？這個(gè)問(wèn)題就是敘拉古猜想，也叫科拉茲猜想或角谷猜想。

證明

因?yàn)槿我慌紨?shù)2m除以2，到最后一定會(huì)是一個(gè)奇數(shù)(2m+1)，因此證明只需證明對(duì)于每一個(gè)奇數(shù)按這樣的規(guī)則演算下去都能得到1，角谷猜想就成立。

根據(jù)二項(xiàng)式定理：

可得到：

當(dāng)是n奇數(shù)，n=2m+1時(shí)，

根據(jù)代數(shù)恒等式：

可得到：

而因此令得到:

即任何一個(gè)奇數(shù)(2m+1)通過(guò)乘以3再加1{ }和除以2{ }兩種運(yùn)算都能得到一個(gè)形如 的偶數(shù)，而形如 的偶數(shù)通過(guò)除以2最后都能得到1。

結(jié)論

角谷猜想（3n+1）是成立的，事實(shí)上，即使是偶數(shù)通過(guò)乘以3再加1和除以2兩種運(yùn)算最后都能得到1。

例如，從4開(kāi)始，把4乘以3再加1，可以得到

4→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，

從6開(kāi)始，把6乘以3再加1，可以得到

6→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

我不敢茍同以下這種所謂的證明：

“我們假設(shè)一個(gè)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：

當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；

當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；

當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；

當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；

。。。。。。

可見(jiàn)，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒(méi)有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。”

要知道（3m+1）/2^c＝m這個(gè)等式左右兩邊的m是不一樣的，雖然兩個(gè)m都是奇數(shù)，但此m非彼m，你無(wú)非就是想說(shuō)一個(gè)奇數(shù)乘以3再加1必定可以被2的n次方除盡，當(dāng)然n到底是多大要看實(shí)際情況而定。不信大家可以試一試，左邊代入任意奇數(shù)m，右邊得出的m絕大多數(shù)都是跟左邊代入任意奇數(shù)m不同的。還有就是這個(gè)證明明顯存在前后矛盾，前面假設(shè)一個(gè)奇數(shù)m，后面卻得出m＝0.2、m＝1/13這樣的結(jié)果，難道0.2、1/13這些就是所謂的奇數(shù)？連兩個(gè)m都分不清，更何況是證明呢？大家不要再犯這樣的低級(jí)錯(cuò)誤了呀，腳踏實(shí)地才是真。

角谷猜想的一個(gè)推廣

角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一個(gè)推廣是克拉茨問(wèn)題，下面簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題：

50年代開(kāi)始,在國(guó)際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一個(gè)奇怪有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題:任意給定一個(gè)自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對(duì)得數(shù)繼續(xù)進(jìn)行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):

(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會(huì)得出相同的結(jié)果.這個(gè)叫做敘古拉猜想.

上述變換,實(shí)際上是進(jìn)行下列函數(shù)的迭代

{ x/2 (x是偶數(shù))

C(x)=

3x+1 (x是奇數(shù))

問(wèn)題是,從任意一個(gè)自然數(shù)開(kāi)始,經(jīng)過(guò)有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價(jià)地說(shuō),最終得到1?據(jù)說(shuō)克拉茨(L.Collatz)在1950年召開(kāi)的一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上談起過(guò),因而許多人稱之為克拉茨問(wèn)題.但是后來(lái)也有許多人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過(guò)同一個(gè)問(wèn)題,所以,從此以后也許為了避免引起問(wèn)題的歸屬爭(zhēng)議,許多文獻(xiàn)稱之為3x+1問(wèn)題.

克拉茨問(wèn)題吸引人之處在于C迭代過(guò)程中一旦出現(xiàn)2的冪,問(wèn)題就解決了,而2的冪有無(wú)窮多個(gè),人們認(rèn)為只要迭代過(guò)程持續(xù)足夠長(zhǎng),必定會(huì)碰到一個(gè)2的冪使問(wèn)題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問(wèn)題每到一處,便在那里掀起一股"3x+1問(wèn)題"狂熱,不論是大學(xué)還是研究機(jī)構(gòu)都不同程度地卷入這一問(wèn)題.許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.

日本東京大學(xué)的米田信夫已經(jīng)對(duì)240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗(yàn).1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對(duì)5.6*1013的自然數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡(jiǎn)單,連小學(xué)生都能看懂的問(wèn)題,卻難到了20世紀(jì)許多大數(shù)學(xué)家.著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時(shí)候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問(wèn)題"為標(biāo)題.經(jīng)過(guò)幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家厄特希(P.Erdos)的說(shuō)法:"數(shù)學(xué)還沒(méi)有成熟到足以解決這樣的問(wèn)題!"有人提議將3x+1問(wèn)題作為下一個(gè)費(fèi)爾馬問(wèn)題.

下面是我對(duì)克拉茨問(wèn)題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)點(diǎn)規(guī)律,距離解決還很遙遠(yuǎn).

克拉茨命題:設(shè) n∈N,并且

f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù))

現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).

則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)

克拉茨命題的證明

引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)

證明:當(dāng)m=1時(shí),f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1時(shí),fk+1(n)=f(fk(2k+1))=

=f(2)=2/2=1.證畢.

引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.

證明:證明是顯然的,省略.

引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.

證明:省略.

定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對(duì)于變換f(X)是封閉的.

證明:對(duì)于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對(duì)于n=2k,經(jīng)過(guò)若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對(duì)于奇數(shù),首先要進(jìn)行奇變換,伴隨而來(lái)的必然是偶變換,所以對(duì)于奇數(shù),肯定要進(jìn)行一次全變換.為了直觀起見(jiàn),我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152

2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76

3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38

4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19

5 3k-1 2 5 8

6 3k-2 1 4

7 3k-1 2

8 3k-2 1

第一行(2k-1)經(jīng)過(guò)全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實(shí)際上等于第一行加上一個(gè)k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯(cuò)排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對(duì)于變換f(X)是封閉的.

定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過(guò)若干次變換都會(huì)變成1.

證明:

我們看到 奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過(guò)除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說(shuō)不可能經(jīng)過(guò)全變換得到3k-2型數(shù).

下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換的性質(zhì),因?yàn)閷?duì)于其他偶數(shù)經(jīng)過(guò)若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來(lái).

我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過(guò)若干次全變換必然會(huì)在某一步變成偶數(shù).

設(shè)2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過(guò)全變換變成3a0-1,假設(shè)它是一個(gè)奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過(guò)全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.

所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過(guò)若干次全變換過(guò)程如下:

2k+1n-1 - 3*2kn-1 - 32*2k-1n-1 - 33*2k-2n-1 -... - 3k+1n-1 (偶數(shù)).

然后我們證明經(jīng)過(guò)全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過(guò)若干偶變換之后得到的奇數(shù).

設(shè)3k+1n-1=2mh (h為奇數(shù)),我們要證明 h2*3kn-1:

h=(2*3kn-1+3kn)/2m2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有 2aba+b,而這是顯然的.

定義:以下我們將稱呼上述的連續(xù)全變換緊接著連續(xù)的偶變換的從奇數(shù)到另外一個(gè)奇數(shù)的過(guò)程為一個(gè)變換鏈.

接著我們證明奇數(shù)經(jīng)過(guò)一個(gè)變換鏈所得的奇數(shù)不可能是變換鏈中的任何中間結(jié)果,包括第一個(gè)奇數(shù).

若以B(n)表示奇數(shù)n的變換次數(shù),m是n經(jīng)過(guò)變換首次遇到的其他奇數(shù),則有

定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負(fù)整數(shù).

證明:n經(jīng)過(guò)一次奇變換,再經(jīng)過(guò)k次偶變換變成奇數(shù)m,得證.

舉例來(lái)說(shuō),B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17

原始克拉茨

二十世紀(jì)30年代,克拉茨還在上大學(xué)的時(shí)候,受到一些著名的數(shù)學(xué)家影響,對(duì)于數(shù)論函數(shù)發(fā)生了興趣,為此研究了有關(guān)函數(shù)的迭代問(wèn)題.

在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一個(gè)函數(shù):

F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除余1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除余2）

則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便于觀察上述迭代結(jié)果,我們將它們寫(xiě)成置換的形式:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...

由此觀察到:對(duì)于x=2,3的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(2,3)

對(duì)于x=4,5,6,7,9的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(5,7,9,6,4).

接下來(lái)就是對(duì)x=8進(jìn)行迭代,克拉茨在這里遇到了困難,他不能確知,這個(gè)迭代是否會(huì)形成循環(huán),也不知道對(duì)全體自然數(shù)做迭代除了得到上述兩個(gè)循環(huán)之外,是否還會(huì)產(chǎn)生其他循環(huán).后人將這個(gè)問(wèn)題稱為原始克拉茨問(wèn)題.現(xiàn)在人們更感興趣的是它的逆問(wèn)題:

G(x)= 3x/2 （如果x是偶數(shù)）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除余1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除余3）

不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數(shù)F(x)的反函數(shù).對(duì)于任何正整數(shù)x做G迭代,會(huì)有什么樣的結(jié)果呢?

經(jīng)計(jì)算,已經(jīng)得到下列四個(gè)循環(huán):

(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).

因?yàn)镚迭代與F迭代是互逆的,由此知道,F迭代還應(yīng)有循環(huán)(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).

G迭代還能有別的循環(huán)嗎?為了找到別的循環(huán),人們想到了下面的巧妙方法:

由于G迭代使后項(xiàng)是前項(xiàng)的3/2(當(dāng)前項(xiàng)是偶數(shù)時(shí))或近似的3/4(當(dāng)前項(xiàng)是奇數(shù)).如果G迭代中出現(xiàn)循環(huán),比如迭代的第t項(xiàng)at與第s項(xiàng)as重復(fù)(ts):at=as.但

as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at

或等于3/2,或者近似于3/22,因而

1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n

這里 m=s-t,m n

即 2n≈3m

log22n≈log23m

故 n/m≈log23

這就是說(shuō),為了尋找出有重復(fù)的項(xiàng)(即有循環(huán)),應(yīng)求出log23的漸進(jìn)分?jǐn)?shù)n/m,且m可能是一個(gè)循環(huán)所包含的數(shù)的個(gè)數(shù),即循環(huán)的長(zhǎng)度.

log23展開(kāi)成連分?jǐn)?shù)后,可得到下列緊缺度不同的漸進(jìn)分?jǐn)?shù):

log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)2/1表明,31≈22,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為1.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為1的循環(huán)(1).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)3/2表明,32≈23,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為2.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為2的循環(huán)(2,3).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)8/5表明,35≈28,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為5.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為5的循環(huán)(4,6,9,7,5).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)19/12表明,312≈219,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為12,實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為12的循環(huán)(44,66,...59).

這四個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的分母與實(shí)際存在的循環(huán)長(zhǎng)度的一致性,給了人們一些啟發(fā)與信心,促使人們繼續(xù)考慮:是否存在長(zhǎng)度為41,53,306,665,15601,...的循環(huán)?令人遺憾的是,已經(jīng)證明長(zhǎng)度是41,53,306的循環(huán)肯定不存在,那么,是否會(huì)有長(zhǎng)度為665,15601,...的循環(huán)呢?

F迭代與G迭代究竟能有哪些循環(huán)呢?人們正在努力探索中!

冰雹猜想的數(shù)學(xué)論證

對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)A,

(1)a.如果A為偶數(shù),就除以2

b.如果A為奇數(shù),就乘以3加上1

得數(shù)記為B

(2)將B代入A重新進(jìn)行(1)的運(yùn)算

若干步后,得數(shù)為1.

這個(gè)猜想,目前沒(méi)有反例,也沒(méi)有證明.

但也有許多人曾經(jīng)嘗試去求證這個(gè)問(wèn)題： 因?yàn)槿魏闻紨?shù)都能變成2^a或一個(gè)奇數(shù)乘2^b。前者在不停的除以2之后必定為1，因?yàn)樗鼈冎挥匈|(zhì)因數(shù)2。而后者則只能剩下一個(gè)奇數(shù)，我們可以把偶數(shù)放在一邊不談。

現(xiàn)在只剩下奇數(shù)了。

我們假設(shè)一個(gè)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c=m，且m不等于1。我們嘗試一下：

當(dāng)c=1時(shí)，3m+1=2m，，，m=-1，不符合，舍去；

當(dāng)c=2時(shí)，3m+1=4m，，，m=1，不符合，舍去；

當(dāng)c=3時(shí)，3m+1=8m，，，m=0.2，不符合，舍去；

當(dāng)c=4時(shí)，3m+1=16m，，，m=1/13，不符合，舍去；

……………………

可見(jiàn)，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒(méi)有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。 介紹

從任何一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，連續(xù)進(jìn)行如下運(yùn)算：

若是奇數(shù)，就把這個(gè)數(shù)乘以3再加1；若是偶數(shù)，就把這個(gè)數(shù)除以2。一直按這個(gè)規(guī)則算下去，到最后一定會(huì)出現(xiàn)4、2、1的循環(huán)。

比如，要是從1開(kāi)始，就可以得到1→4→2→1；要是從17開(kāi)始，則可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。自然地，有人可能會(huì)問(wèn)：是不是每一個(gè)正整數(shù)按這樣的規(guī)則演算下去都能得到1呢？這個(gè)問(wèn)題就是敘拉古猜想，也叫科拉茲猜想或角谷猜想。

證明

因?yàn)槿我慌紨?shù)2m除以2，到最后一定會(huì)是一個(gè)奇數(shù)(2m+1)，因此證明只需證明對(duì)于每一個(gè)奇數(shù)按這樣的規(guī)則演算下去都能得到1，角谷猜想就成立。

根據(jù)二項(xiàng)式定理：

可得到：

當(dāng)是n奇數(shù)，n=2m+1時(shí)，

根據(jù)代數(shù)恒等式：

可得到：

而因此令得到:

即任何一個(gè)奇數(shù)(2m+1)通過(guò)乘以3再加1和除以2兩種運(yùn)算都能得到一個(gè)形如 的偶數(shù)，而形如 的偶數(shù)通過(guò)除以2最后都能得到1。

結(jié)論

角谷猜想（3n+1）是成立的，事實(shí)上，即使是偶數(shù)通過(guò)乘以3再加1和除以2兩種運(yùn)算最后都能得到1。

奇數(shù)例如，從4開(kāi)始，把4乘以3再加1，可以得到

4→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，

從6開(kāi)始，把6乘以3再加1，可以得到

6→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

這是因?yàn)榕紨?shù)乘以3再1以后會(huì)得到奇數(shù)，而一切的奇數(shù)最終都能歸結(jié)于1。 雖然一般的角谷猜想擴(kuò)展的題目都可以發(fā)現(xiàn)反例子，除了化簡(jiǎn)版本以外，這證明了那些擴(kuò)展題目都是錯(cuò)誤的，但是對(duì)于它們的研究有助于發(fā)現(xiàn)反例子的規(guī)律.....希望百度百科可以對(duì)我昔日對(duì)角古猜想深度擴(kuò)展給予重見(jiàn)天日.....目前已經(jīng)總結(jié)出的主反例子的規(guī)律是：

1、 無(wú)限歸結(jié) 因?yàn)槭菬o(wú)限的所以沒(méi)有辦法歸結(jié)于1 。 （數(shù)量必定無(wú)窮多個(gè)）

2、 循環(huán)歸結(jié) 因?yàn)闆](méi)完沒(méi)了而無(wú)法歸結(jié)于1（泛指3個(gè)或者是3個(gè)以上的奇數(shù)出現(xiàn)的病態(tài)循環(huán)歸結(jié)）。

3、 互相歸結(jié) 同樣因?yàn)闆](méi)完沒(méi)了而無(wú)法歸結(jié)于1（特指2個(gè)奇數(shù)出現(xiàn)的病態(tài)互相歸結(jié)）。

以上的這3種主反例子的病態(tài)歸結(jié)都在角谷猜想的深度擴(kuò)展題目里面有真實(shí)存在的例子。牽連反例子，是指在主反例子存在的前提下，因?yàn)槭艿綘窟B而無(wú)法歸結(jié)于1的。

對(duì)于角谷猜想的原題以及化簡(jiǎn)版本都是目前沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何反例子的，化簡(jiǎn)版本只簡(jiǎn)單想一下就知道是成立而不存在反例子的。原題版本則需要證明是否存在反例子，使用排除法，首先排除偶數(shù)，再次排除能被3整除的奇數(shù)，以上的這3種反例子的類型都出現(xiàn)在奇數(shù)，而且是不能被3（或者是相對(duì)應(yīng)的B）整除的奇數(shù)...該規(guī)律對(duì)于一切的角谷猜想擴(kuò)展題目都適用。也就是說(shuō)只剩下不能被3（或者是相對(duì)應(yīng)的B）整除的奇數(shù)沒(méi)有被排除。

一旦今后有什么辦法可以排除這一個(gè)類型的奇數(shù)也不存在主反例子，那么角谷猜想被證明就會(huì)大功告成，圓滿結(jié)束，角古猜想被證明是絕對(duì)成立，絕對(duì)正確的。

偶數(shù)、能被3（或者是相對(duì)應(yīng)B）整除的奇數(shù)就算出現(xiàn)反例子，也只能是牽連反例子。我還有更加嚴(yán)格的證明，只可惜地方太小無(wú)法出示。任何一道角谷猜想的深度擴(kuò)展的題目只需要找到2個(gè)主反例子就會(huì)出現(xiàn)數(shù)量無(wú)窮多個(gè)牽連反例子。也就是說(shuō)一個(gè)反例子就足夠推翻一個(gè)猜想。其中主反例子都只出現(xiàn)在不能被3（或者是B）整除的奇數(shù)，數(shù)量有可能是無(wú)窮多個(gè)。牽連反例子可以出現(xiàn)在一切的自然數(shù)類型，按照我在此的分類方法，數(shù)量都必定是無(wú)窮多個(gè)。 在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)于錯(cuò)誤部分給予修正，對(duì)于正確部分給予擴(kuò)展。其適用性對(duì)于一切我的擴(kuò)展思路的兩組數(shù)據(jù)的擴(kuò)展題目都是成立的.有許多公式，都是按照數(shù)學(xué)歸納法證明是成立的。

圖論專家據(jù)此闡述了一種獨(dú)特的方法：把數(shù)列群比作是一棵樹(shù)，4-2-1數(shù)列是連理枝，至于上面的分支構(gòu)成了一個(gè)奇妙的數(shù)列通路，包含了所有的自然數(shù)。但是非常可惜的是，這個(gè)理論至今也沒(méi)有人可以證明。所以“冰雹猜想”還是數(shù)學(xué)皇冠上一顆尚未鑒別的寶珠。雖然我對(duì)于圖論的知識(shí)不怎么掌握，但是我可以根據(jù)逆向思考的冰雹猜想建立一棵無(wú)限大的冰雹猜想樹(shù)，或者是根據(jù)一定的規(guī)則建立由數(shù)量無(wú)窮多的冰雹猜想樹(shù)組成冰雹猜想的森林。

（一）角谷猜想是說(shuō)，任何一個(gè)自然數(shù)，如果是偶數(shù)，就除以 2，如果是奇數(shù)，就乘以 3 再加 1。最后，經(jīng)過(guò)若干次迭代得到 1。也就是說(shuō)，不管怎樣迭代，最后都會(huì)轉(zhuǎn)移到4^n；不斷除以 2 以后，最后是 1。迭代過(guò)程只要出現(xiàn) 2 的冪，問(wèn)題就解決了。也就是說(shuō)，第一個(gè)層次是 4^n。

（二）第二個(gè)層次是：所有奇數(shù) m 乘以 3 再加上 1 以后回到4^n的有：(第一;根據(jù)整體證明方法的公式：(2^mn-1)/(2^n-1)...第二；根據(jù)直接歸結(jié)定理）都可以得到

m1=(4^n-1)/3=1,5,21,341，.....問(wèn)題就解決了，只要一步，就可以回到 4^n。。(修改原因：只有這樣才能整除于3)

（三）第三個(gè)層次是：從一得知，有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)的奇數(shù) m1=(4^（n+1）-1)/3，刪除掉1(會(huì)造成循環(huán))m1=(4^(3n)-1)/3，刪除掉能被3整除的奇數(shù)（ 因?yàn)樗鼈冊(cè)谀嫦蛩伎贾惺墙K止點(diǎn)的奇數(shù)，沒(méi)有任何一個(gè)奇數(shù)可以進(jìn)入它們的。）之后剩下的自然數(shù)是m1=(4^（3n-1）-1)/3和m2=(4^（3n-2）-1)/3

（四）從而得知，能夠回到 5 的奇數(shù)有有無(wú)窮多個(gè)，我們僅以 13 來(lái)說(shuō)，能夠回到 13 的有：17；69；173；277；……；m(x+1)=m(x)+2^n×13。

有無(wú)窮多個(gè) m(x+1)=m(x)+2^n×13。它們可以回到 13。只要回到問(wèn)題就解決了。

我們可以輕而易舉找到任意大的 m(x+1)=m(x)+2^n×13。

有無(wú)窮多個(gè)數(shù)值回到任何一列，有無(wú)窮多個(gè)數(shù)值回到任何一行。

顯然，這樣的程序可以無(wú)限制進(jìn)行下去。

對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù) A；

（1）如果 A 為偶數(shù)，就除以 2；如果 A 為奇數(shù)，就乘以 3 加上 1，得數(shù)記為 B

（2）將 B 代入 A 重新進(jìn)行（1）的運(yùn)算。若干步后，得數(shù)為1。

這個(gè)猜想就叫做角谷猜想，在 2006 年這個(gè)問(wèn)題被證明是 recursively undecidable（遞歸不可判定）的了。

總結(jié)：按照這樣的計(jì)算下去，會(huì)遇到冰雹公式，而不是驗(yàn)證過(guò)程所遇到的冰雹數(shù)字了。 角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一個(gè)推廣是克拉茨問(wèn)題，下面簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題：

50年代開(kāi)始,在國(guó)際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一個(gè)奇怪有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題:任意給定一個(gè)自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對(duì)得數(shù)繼續(xù)進(jìn)行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):

(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會(huì)得出相同的結(jié)果.這個(gè)叫做敘古拉猜想.

上述變換,實(shí)際上是進(jìn)行下列函數(shù)的迭代

{ x/2 (x是偶數(shù))

C(x)=

3x+1 (x是奇數(shù))

問(wèn)題是,從任意一個(gè)自然數(shù)開(kāi)始,經(jīng)過(guò)有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價(jià)地說(shuō),最終得到1?據(jù)說(shuō)克拉茨(L.Collatz)在1950年召開(kāi)的一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上談起過(guò),因而許多人稱之為克拉茨問(wèn)題.但是后來(lái)也有許多人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過(guò)同一個(gè)問(wèn)題,所以,從此以后也許為了避免引起問(wèn)題的歸屬爭(zhēng)議,許多文獻(xiàn)稱之為3x+1問(wèn)題. 下面是我對(duì)克拉茨問(wèn)題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)點(diǎn)規(guī)律,距離解決還很遙遠(yuǎn).

克拉茨命題:設(shè) n∈N,并且

f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù))

現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).

則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換) 引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)

證明:當(dāng)m=1時(shí),f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1時(shí),fk+1(n)=f(fk(2k+1))=

=f(2)=2/2=1.證畢.

引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.

證明:證明是顯然的,省略.

引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.

證明:省略. :集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對(duì)于變換f(X)是封閉的.

證明:對(duì)于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對(duì)于n=2k,經(jīng)過(guò)若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對(duì)于奇數(shù),首先要進(jìn)行奇變換,伴隨而來(lái)的必然是偶變換,所以對(duì)于奇數(shù),肯定要進(jìn)行一次全變換.為了直觀起見(jiàn),我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152

2 3k-2 1 　 4 　 7 　 10 　 13 　 16 　 19 　 22 　 25 　 28 　 31 　 34 　 37 　 40 　 43 　 46 49 　 52 　 55 　 58 　 61 　 64 　67 　 70 　 73 　 76

3 3k-1 　 　 2 　 　 　 5 　 　 　8 　 　 　 11 　 　 　 14 　 　 　 17 　 　 　 20 　 　 　 23 　 　 　 26 　 　 　 29 　 　 　 32 　 　 　 35 　 　 　 38

4 3k-2 　 　 1 　 　 　 　 　 　 4 　 　 　 　 　 　 　 7 　 　 　 　 　 　 　 10 　 　 　 　 　 　 　 13 　 　 　 　 　 　 　16 　 　 　 　 　 　 　 19

5 3k-1 　 　 　 　 　 　 　 　 　2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 8

6 3k-2 　 　 　 　 　 　 　 　 　1 4

7 3k-1 2

8 3k-2 1

第一行(2k-1)經(jīng)過(guò)全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實(shí)際上等于第一行加上一個(gè)k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯(cuò)排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對(duì)于變換f(X)是封閉的. :任何奇自然數(shù)經(jīng)過(guò)若干次變換都會(huì)變成1.

證明:

我們看到 奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過(guò)除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說(shuō)不可能經(jīng)過(guò)全變換得到3k-2型數(shù).

下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過(guò)全變換的性質(zhì),因?yàn)閷?duì)于其他偶數(shù)經(jīng)過(guò)若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來(lái).

我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過(guò)若干次全變換必然會(huì)在某一步變成偶數(shù).（冰雹猜想又成奇偶變換猜想，“如果偶數(shù)除于2“是把偶數(shù)變成奇數(shù)的運(yùn)算，偶數(shù)歸結(jié)于奇數(shù)的逆向描述公式是：偶數(shù)=f(m,n)=(2n-1)*2^m，這是描述偶數(shù)歸結(jié)于奇數(shù)的另外一個(gè)公式。“如果奇數(shù)乘于3加1”是把奇數(shù)變成偶數(shù) 的運(yùn)算，運(yùn)用直接歸結(jié)定理2個(gè)公式描述了)

設(shè)2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過(guò)全變換變成3a0-1,假設(shè)它是一個(gè)奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過(guò)全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.

所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過(guò)若干次全變換過(guò)程如下:

2k+1n-1 - 3*2kn-1 - 32*2k-1n-1 - 33*2k-2n-1 -... - 3k+1n-1 (偶數(shù)).

然后我們證明經(jīng)過(guò)全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過(guò)若干偶變換之后得到的奇數(shù).

設(shè)3k+1n-1=2mh (h為奇數(shù)),我們要證明 h2*3kn-1:

h=(2*3kn-1+3kn)/2m2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有 2aba+b,而這是顯然的.

定義:以下我們將稱呼上述的連續(xù)全變換緊接著連續(xù)的偶變換的從奇數(shù)到另外一個(gè)奇數(shù)的過(guò)程為一個(gè)變換鏈.

接著我們證明奇數(shù)經(jīng)過(guò)一個(gè)變換鏈所得的奇數(shù)不可能是變換鏈中的任何中間結(jié)果,包括第一個(gè)奇數(shù).

若以B(n)表示奇數(shù)n的變換次數(shù),m是n經(jīng)過(guò)變換首次遇到的其他奇數(shù),則有。

定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負(fù)整數(shù).

證明:n經(jīng)過(guò)一次奇變換,再經(jīng)過(guò)k次偶變換變成奇數(shù)m,得證.

舉例來(lái)說(shuō),B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17 按照角谷猜想的擴(kuò)展部分，每一道擴(kuò)展的題目都存在著相對(duì)應(yīng)的幾個(gè)歸結(jié)定理。對(duì)于原題的文字描述是：文字描述是：首先把自然數(shù)中能被3或者是能被2整除的自然數(shù)都刪除掉，剩下的自然數(shù)，按照第奇數(shù)個(gè)第偶數(shù)個(gè)分成2類，其中第奇數(shù)個(gè)奇數(shù)通項(xiàng)公式是：(6（n-1）+1）把這個(gè)式子乘于2^（2m）再減去1之后必定可以被3整除，而且得到的自然數(shù)全部是奇數(shù)。第偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的通項(xiàng)公式是：(6(n-1)+5)把這個(gè)式子乘于2^（2m-1）再減去1之后必定可以被3整除而且得到的自然數(shù)全部都是奇數(shù)。

原題的歸結(jié)定理公式描述就是：

((6（n-1）+1)*4^m-1)/3=x1

((6(n-1)+5)*2^(2m-1)-1)/3=x2

這是2個(gè)2維平面的變差數(shù)列，由2條互相垂直的射線組成的射面狀的無(wú)窮變差數(shù)列。已經(jīng)通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明，公式成立，可以整除，而且得數(shù)全部都是奇數(shù)。如果把x1和x2都看成是集合，那么必定存在它們的交集必定是空集，它們的并集必定是全體奇數(shù)。等于說(shuō)是把奇數(shù)分成2類，一類是x1，另外的一類是x2，再把以上2個(gè)式子移項(xiàng)以后就會(huì)得到：3x1+1=(6（n-1）+1)*4^m，和3x2+1=(6(n-1)+5)*2^(2m-1)。它們的威力在于，該定理可以描述所有的奇數(shù)的3x+1的以后和以前的情況....是逆向的描述....通過(guò)這個(gè)定理，我們可以非常容易地尋找，不能被3整除的奇數(shù)的所有上一步的直接歸結(jié)的情況，以及和下一步的情況.。這個(gè)直接歸結(jié)定理在分析冰雹猜想的過(guò)程中發(fā)揮著非常重要的作用。假設(shè)我被邀請(qǐng)去參加某次的數(shù)學(xué)成果研究大會(huì)，站在講臺(tái)上我就可以說(shuō)任意給我一個(gè)不能被3整除的奇數(shù)我都能馬上算出，它所有上一步的奇數(shù)，也就是在忽略偶數(shù)不記錄的前提下的所有直接歸結(jié)于這個(gè)奇數(shù)的奇數(shù)。文字描述是：首先把自然數(shù)中能被3或者是能被2整除的自然數(shù)都刪除掉，剩下的自然數(shù)，按照第奇數(shù)個(gè)第偶數(shù)個(gè)分成2類，其中第奇數(shù)個(gè)奇數(shù)通項(xiàng)公式是：(6（n-1）+1）把這個(gè)式子乘于2^（2m）再減去1之后必定可以被3整除，而且得數(shù)是全部奇數(shù)。第偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的通項(xiàng)公式是：(6(n-1)+5)把這個(gè)式子乘于2^（2m-1）再減去1之后必定可以被3整除而且得數(shù)全部都是奇數(shù)。

同時(shí)對(duì)于任意任何一個(gè)能被3整除的奇數(shù)，都絕對(duì)不存在上一步的奇數(shù)，都是順冰雹猜想驗(yàn)證的最起始點(diǎn)的奇數(shù)，都是逆向冰雹猜想的終止點(diǎn)的奇數(shù)，跟最主歸結(jié)點(diǎn)的1的情況剛好相反的.

根據(jù)普通的奇數(shù)與偶數(shù)的描述公式法，即偶數(shù)是2n，奇數(shù)是2n-1的描述辦法并不符合冰雹猜想的運(yùn)算。符合冰雹猜想的偶數(shù)歸結(jié)于奇數(shù)的逆向描述公式是：偶數(shù)=f(m,n)=(2n-1)*2^m，這是描述偶數(shù)歸結(jié)于奇數(shù)的另外一個(gè)公式。同樣是一個(gè)2維的平面的數(shù)列。由2條互相垂直的射線組成的射面狀的無(wú)窮數(shù)列。

原始克拉茨

二十世紀(jì)30年代,克拉茨還在上大學(xué)的時(shí)候,受到一些著名的數(shù)學(xué)家影響,對(duì)于數(shù)論函數(shù)發(fā)生了興趣,為此研究了有關(guān)函數(shù)的迭代問(wèn)題.

在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一個(gè)函數(shù):

F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除余1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除余2）

則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便于觀察上述迭代結(jié)果,我們將它們寫(xiě)成置換的形式:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...

由此觀察到:對(duì)于x=2,3的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(2,3)

對(duì)于x=4,5,6,7,9的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(5,7,9,6,4).

接下來(lái)就是對(duì)x=8進(jìn)行迭代,克拉茨在這里遇到了困難,他不能確知,這個(gè)迭代是否會(huì)形成循環(huán),也不知道對(duì)全體自然數(shù)做迭代除了得到上述兩個(gè)循環(huán)之外,是否還會(huì)產(chǎn)生其他循環(huán).后人將這個(gè)問(wèn)題稱為原始克拉茨問(wèn)題.現(xiàn)在人們更感興趣的是它的逆問(wèn)題:

G(x)= 3x/2 （如果x是偶數(shù)）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除余1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除余3）

不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數(shù)F(x)的反函數(shù).對(duì)于任何正整數(shù)x做G迭代,會(huì)有什么樣的結(jié)果呢?

經(jīng)計(jì)算,已經(jīng)得到下列四個(gè)循環(huán):

(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).

因?yàn)镚迭代與F迭代是互逆的,由此知道,F迭代還應(yīng)有循環(huán)(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).

G迭代還能有別的循環(huán)嗎?為了找到別的循環(huán),人們想到了下面的巧妙方法:

由于G迭代使后項(xiàng)是前項(xiàng)的3/2(當(dāng)前項(xiàng)是偶數(shù)時(shí))或近似的3/4(當(dāng)前項(xiàng)是奇數(shù)).如果G迭代中出現(xiàn)循環(huán),比如迭代的第t項(xiàng)at與第s項(xiàng)as重復(fù)(ts):at=as.但

as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at

或等于3/2,或者近似于3/22,因而

1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n

這里 m=s-t,m n

即 2n≈3m

log22n≈log23m

故 n/m≈log23

這就是說(shuō),為了尋找出有重復(fù)的項(xiàng)(即有循環(huán)),應(yīng)求出log23的漸進(jìn)分?jǐn)?shù)n/m,且m可能是一個(gè)循環(huán)所包含的數(shù)的個(gè)數(shù),即循環(huán)的長(zhǎng)度.

log23展開(kāi)成連分?jǐn)?shù)后,可得到下列緊缺度不同的漸進(jìn)分?jǐn)?shù):

log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)2/1表明,31≈22,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為1.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為1的循環(huán)(1).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)3/2表明,32≈23,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為2.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為2的循環(huán)(2,3).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)8/5表明,35≈28,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為5.實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為5的循環(huán)(4,6,9,7,5).

漸進(jìn)分?jǐn)?shù)19/12表明,312≈219,循環(huán)長(zhǎng)度應(yīng)為12,實(shí)際上恰存在長(zhǎng)度為12的循環(huán)(44,66,...59).

這四個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的分母與實(shí)際存在的循環(huán)長(zhǎng)度的一致性,給了人們一些啟發(fā)與信心,促使人們繼續(xù)考慮:是否存在長(zhǎng)度為41,53,306,665,15601,...的循環(huán)?令人遺憾的是,已經(jīng)證明長(zhǎng)度是41,53,306的循環(huán)肯定不存在,那么,是否會(huì)有長(zhǎng)度為665,15601,...的循環(huán)呢?

F迭代與G迭代究竟能有哪些循環(huán)呢?人們正在努力探索中!

Java驗(yàn)證實(shí)現(xiàn)

import java.util.Scanner;

public class JiaoGuCaiXiang {

public static void main(String[] args) {

Scanner sc=new Scanner(System.in);

System.out.print("請(qǐng)輸入要進(jìn)行判斷的數(shù)字：");

int a=sc.nextInt();

jiaogu(a);

}

public static void jiaogu(int a){

if(a1){

if (a%2==0) {

a=a/2;

System.out.println("偶數(shù)的變化是"+a);

}else{

a=3*a+1;

System.out.println("奇數(shù)的變化是"+a);

}

}

else{

return;

}

jiaogu(a);

}

}

c++驗(yàn)證實(shí)現(xiàn) #include?iostreamusing?namespace?std;int?main?(){???int?array[1000];//n的值無(wú)法預(yù)估。???int?n?=?0;???cout??"input?the?first?number?of?Hailstone"??endl;//輸入第一個(gè)數(shù)字???cin??array[n];???cout??"array?[?"?n?"]?=?"??array[n]??endl;???while?(array[n]?!=?1)???{??????if(array[n]%2)?????????????{?????????????????array[n+1]?=?array[n]*3?+?1;?????????????????n++;?????????????????cout??"array?[?"?n?"?]?=?"??array[n]??endl;?????????????}??????else?????????????{?????????????????array[n+1]?=?array[n]/2;?????????????????n++;?????????????????cout??"array?[?"?n?"?]?=?"??array[n]??endl;?????????????}???}???cout??"n?=?"??n??endl;???return?0;}

王茂澤宣稱破解世界著名難題“冰雹猜想”，他的證明過(guò)程是怎樣的？

王茂澤宣稱破解世界著名難題“冰雹猜想”，他的證明過(guò)程是怎樣的？2022年1月26日，美國(guó)世界開(kāi)放性數(shù)學(xué)刊物《Advances ln Pure Mathematics》(《丨純數(shù)學(xué)進(jìn)展》)在2022年第12卷第1期發(fā)表了隴西籍碩士、大學(xué)教師王茂澤與三位合作者的文章《The Proof of The 3x+1Conjecture》(《3x+1猜想的證明》）。至此， 世界公認(rèn)的著名數(shù)論難題得以破解！王茂澤，甘肅隴西縣首陽(yáng)鎮(zhèn)三十鋪村灘兒下社人，1993年6月從隴西一中畢業(yè)后，以重點(diǎn)線成績(jī)考入西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育專業(yè)，1997年以優(yōu)異的成績(jī)畢業(yè)后回到母校隴西一中工作，一入校就被學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)委以重任，一直教學(xué)校的重點(diǎn)班。2008年又以優(yōu)異成績(jī)考入西北師范大學(xué)攻讀碩士研究生，2011年畢業(yè)后到蘭州工業(yè)學(xué)院從事教學(xué)科研工作。現(xiàn)在在北京師范大學(xué)做高級(jí)訪問(wèn)學(xué)者。

從英國(guó)工業(yè)革命以來(lái)的珍妮紡紗機(jī)、瓦特蒸汽機(jī)，從造船到飛機(jī)，各種改良種子品種的技術(shù)等等等，走的路徑都是這樣。這其中出現(xiàn)了無(wú)數(shù)的創(chuàng)意和實(shí)踐，發(fā)明人并不提前知道什么科學(xué)，但就是這樣的人，被你們稱作民科的人，推動(dòng)了人類生產(chǎn)力的發(fā)展。最終大浪淘沙，才剩下了現(xiàn)在的東西，才有了各種科學(xué)大師用各種理論解釋已經(jīng)存在現(xiàn)象的土壤。就像飛機(jī)機(jī)翼為什么能讓飛機(jī)飛起來(lái)，直到現(xiàn)在各種科學(xué)大師也解釋不清楚，但修自行車的萊特兄弟根本不懂什么科學(xué)理論，但就是發(fā)明了能飛的飛機(jī)，你說(shuō)萊特兄弟算不算民科呢？我們需要大量的民科來(lái)嘗試各種最為離奇的想法與創(chuàng)意，也許下一個(gè)偉大進(jìn)步就是存在于這群民科之中。我從不歧視任何勇于探索真實(shí)世界的人，致敬所有奮力前行的民科。

網(wǎng)站名稱：python冰雹猜想函數(shù) 冰雹猜想c語(yǔ)言代碼
標(biāo)題URL：http://chinadenli.net/article48/dojdehp.html

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