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01 故事起源

100個人回答五道題，有81人答對第一題，91人答對第二題，85人答對第三題，79人答對第四題，74人答對第五題。

答對三道題或三道題以上的人算及格，那么在這100人中至少有多少人及格呢？

02 思考小規(guī)模，AB兩題

先考慮如果只有AB兩道題，100個人，第一反應(yīng)是用集合的方式。

總共也就上面3種情況，其中第一種人數(shù)大于100非法，所以只存在后面2種情況。
可以得到如下結(jié)論：

• 同時做對AB兩題的最少有72人，最多有81人；

• 同時做錯AB兩題的最多有9人，最少有0人。

看來已經(jīng)找到了規(guī)律，那就按這個思路進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)據(jù)規(guī)模，考慮ABC三題。

03 擴(kuò)大規(guī)模，ABC三題

先考慮每兩題之間的關(guān)系。

再合成三題的關(guān)系。等等，好像有點復(fù)雜，這不是線性的復(fù)雜度，不好意思，小K的智商有點不夠用，自閉了。

那小K是不是要準(zhǔn)備放棄了呢，NO，never say give up。有時候不要撞倒南墻不回頭，基于小K多年的經(jīng)驗，如果找到的規(guī)律不明顯或者很復(fù)雜，一般都說明你走錯了，所以這時要考慮切換思維方式。

04 切換思維

上面都是正向思維，但不好處理，可以逆向思維。

只要錯3道就不及格，一共有19+9+15+21+26=90道錯題，那么90/3=30，則最多有30人不及格，所以最少有70人及格，perfect，收工。

Wait，總感覺有點怪怪的，倒不是因為太簡單，而是對于信息量的直覺告訴我，這種解法忽略了很多的信息量。

只用了總數(shù)，而沒有用到5道題的錯題數(shù)量分布。那就直接告訴你總共錯了90道就行了，為啥還要單獨告訴具體的數(shù)量，這難道真的只是誤導(dǎo)信息嗎？

05 極限法思維

根據(jù)上面的解法，既然不關(guān)心具體分布，那就用極限思維，構(gòu)造特殊數(shù)據(jù)。比如所有錯題集中在A題。

總共還是錯90道，但所有人都做對4題，應(yīng)該是100人及格，再一次自閉。

這時，我想應(yīng)該有杠精要跳出來了。

小K：你說得很有道理，我竟無言以對。
先不跟你扯，咱們進(jìn)一步思考，這個反例說明了一點：錯題不能隨意均攤，那就從這點下手。

06 錯題均攤

先看錯誤的分布。

如何將這些錯題分配給最多的人。

為了分析方便，先寫一個簡單的例子，如錯題分布為7、8、9、10、11。

第一種分配：

• 將A,B,C分配給7人

• 將C,D,E分配給2人

• 將B,D,E分配給1人

總共可分配7+2+1=10人。

第二種，優(yōu)先分配B,C,D，總共11人。

第三種，優(yōu)先分配C,D,E，總共12人。

到這里我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，優(yōu)先分配最大的3道會得到更多的人數(shù)。而在分配過程中最大的3道順序會動態(tài)變化，這就啟發(fā)了貪心的思想。

• 將錯題從大到小排序；

• 每次將最大的前3個分配給一人，然后重新排序。

重復(fù)上面步驟，直到最后找不出3個不為0的數(shù)，也就是變?yōu)閄,0,0,0,0或者X,Y,0,0,0。

07 抽象

轉(zhuǎn)換問題：有5個矩形，順序可隨意。要切出寬度為3的N個矩形，要求總體疊加要盡量的高，最高有多少?
你品，你細(xì)品，這是不是同一個問題呀。所以要從最高的前3個開始一點一點地削它，哈哈。

08 真相浮出水面

回到原題，那到底至少有多少人呢？通過代碼測試結(jié)果。

8.1 代碼實現(xiàn)

int main() {
    int a[5], ans = 0;
    for (int i = 0; i < 5; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a, a + 5, compare);
    while (a[2] > 0) {
        a[0]--;
        a[1]--;
        a[2]--;
        sort(a, a + 5, compare);
        ans++;
        for (int i = 0; i < 5; ++i) {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "ans=" << ans << endl;

    return 0;
}

8.2 數(shù)據(jù)測試

25 20 18 15 9 
24 19 17 15 9 
23 18 16 15 9 
22 17 15 15 9 
21 16 15 14 9 
20 15 14 14 9 
19 14 14 13 9 
18 13 13 13 9 
17 13 12 12 9 
16 12 12 11 9 
15 11 11 11 9 
14 11 10 10 9 
13 10 10 9 9 
12 9 9 9 9 
11 9 9 8 8 
10 8 8 8 8 
9 8 8 7 7 
8 7 7 7 7 
7 7 7 6 6 
6 6 6 6 6 
6 6 5 5 5 
5 5 5 5 4 
5 4 4 4 4 
4 4 4 3 3 
3 3 3 3 3 
3 3 2 2 2 
2 2 2 2 1 
2 1 1 1 1 
1 1 1 0 0 
0 0 0 0 0 
ans=30

所以至多30人不及格，則至少70人及格，答案雖然一樣，但思維方式卻不一樣。

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