學GIS空間數(shù)據(jù)庫的時候，拓撲方面內(nèi)容筆記

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拓撲的定義

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

“拓撲”就是把實體抽象成與其大小、形狀無關的“點”，而把連接實體的線路抽象成“線”，進而以圖的形式來表示這些點與線之間關系的方法，其目的在于研究這些點、線之間的相連關系。表示點和線之間關系的圖被稱為拓撲結(jié)構圖。拓撲結(jié)構與幾何結(jié)構屬于兩個不同的數(shù)學概念。在幾何結(jié)構中， 我們要考察的是點、線、面之間的位置關系，或者說幾何結(jié)構強調(diào)的是點與線所構成的形狀及大小。如梯形、正方形、平行四邊形及圓都屬于不同的幾何結(jié)構，但從拓撲結(jié)構的角度去看，由于點、線間的連接關系相同，從而具有相同的拓撲結(jié)構即環(huán)型結(jié)構。也就是說，不同的幾何結(jié)構可能具有相同的拓撲結(jié)構。?

如三角形變成四邊形、原型、環(huán)形，角度、長度、面積、形狀等等都很可能發(fā)生變化。此時，不必考慮它們的形狀和大?。ㄈ玳L度、面積、形狀等等這些），只考慮物體間的位置、結(jié)構關系，只專注于在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)(如他們都是一個圈)，這就是拓撲學。

拓撲學歷史

拓撲英文名是Topology，直譯是地志學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數(shù)學分支，它屬于幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)的一些孤立的問題，在后來的拓撲學的形成中占著重要的地位。

• 1679年德國數(shù)學家萊布尼茨提出的名詞 拓撲學，起初叫形勢分析學，他在17世紀提出“位置的幾何學”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的說法。

• 1736年歐拉在解決了七橋問題，給當時數(shù)學界引起很多思考；

• 1750年歐拉在發(fā)表了多面體公式；

• 1833年高斯在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。

• 1847年 J.B.利斯廷根據(jù)希臘文τπο和λγο（“位置”和“研究”），提出Topology這一數(shù)學名詞，即拓撲學。Topology，直譯是地志學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。

• 1851年左右，即19世紀中期，德國數(shù)學家黎曼在復變函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調(diào)為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學，從此數(shù)學界開始了現(xiàn)代拓撲學的系統(tǒng)研究。

不同學科對拓撲的定義不盡相同

集合拓撲：拓撲是集合上定義的一種結(jié)構。

點集拓撲學

點集拓撲學（Point Set Topology），有時也被稱為一般拓撲學（General Topology），是數(shù)學的拓撲學的一個分支。

它研究拓撲空間以及定義在其上的數(shù)學結(jié)構的基本性質(zhì)。這一分支起源于以下幾個領域：對實數(shù)軸上點集的細致研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。

點集拓撲學定義

拓撲是一個包含一個集合X連同和X的子集族Σ(稱為開集系)的二元組(X,Σ)，它滿足如下三個公理：

1. 開集的并集是開集。

2. 有限個開集的交集是開集。

3. X和空集?是開集。

設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1. X與空集都屬于T;

2. T中任意兩個成員的交屬于T;

3. T中任意多個成員的并屬于T; 則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

也等價于:

• X和空集都屬于T；

• T中任意多個成員的并集仍在T中；

• T中有限多個成員的交集仍在T中。

此時稱稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。最普通的例子便是實數(shù)集上的距離拓撲，這與我們通常對實數(shù)的認識相同。最簡單(粗)的拓撲為平凡拓撲，它只包含T本身和空集，最復雜(細)的拓撲的構成開集為T的所有子集。

同一個集合X，若指定不同的拓撲，則構造出不同的拓撲空間。凡屬于X的子集稱為X的一個關于T的開子集，即開集。開子集關于全集的補集，稱為閉子集，即閉集。一個集合是不是開/閉子集，取決于拓撲的指定。由定義，X本身和空集是既開又閉的子集。

本質(zhì)上，拓撲就是要給一個集合指定一個幾何結(jié)構，然后這個集合就成了一個我們可以研究的空間。比如，有了拓撲和開集的定義后，我們就可以擺脫大一數(shù)學分析的ε-δ來給出更一般的連續(xù)性定義：設A和B是兩個拓撲空間，A到B的映射f稱為連續(xù)的，若任何B的開集在f下的原象是A的開集。這樣我們對于函數(shù)的研究將不再局限于實數(shù)，而是搬到更一般的拓撲空間內(nèi)了。

平面拓撲關系

對于一般的拓撲關系，一圖概括如下

Egenhofer和Franzosa在1991年共同撰寫的論文Point-Set Topological Spatial Relations，為空間拓撲（九交模型）奠定了重要基礎。

依據(jù)集合論，作者對于點集拓撲空間定義了以下基本概念，以描述空間對象：

• Interior(內(nèi)部)??：對于??, interior指的是所有包含??的開放集合的并集。對于空間對象，可以認為是空間對象的內(nèi)部。

• Closure(閉包)??：對于??, closure指的是所有包含??的閉集合的交集。對于空間對象，可以認為是空間對象整體。

• Boundary(邊界)??：對于??, boundary指的是Y的閉包與Y的補集的閉包的交集，即??。對于空間對象，可以認為是空間對象的邊界。

簡而言之，一個空間對象可定義為由內(nèi)部+邊界構成。

根據(jù)以上三條定義可知以下兩命題：

1. ?。即：內(nèi)部和邊界的交集為空。

2. ?。即：內(nèi)部和邊界的并集為整個對象。

九交模型

在一個平面R2上，兩個對象A和B之間的二元拓撲關系要基于以下的相交情況：A的內(nèi)部（A°）、邊界（αA）和外部（A-）與B的內(nèi)部（B°）、邊界（αB）和外部（B-）之間的交。

考慮取值有空（0）和非空（1），可以確定有256種二元拓撲關系。對于嵌在R2中的二維區(qū)域，有八個關系是可實現(xiàn)的，并且它們彼此互斥且完全覆蓋。這些關系為：相離（disjoint）、相接（meet）、交疊（overlap）、相等（equal）、包含（contain）、在內(nèi)部（inside）、覆蓋（cover）和被覆蓋（covered by）。

九交模型

三維空間拓撲關系

• 點-點空間關系2種：相離、相等；

• 點-線空間關系3種：相離、相接、包含于；

• 點-面空間關系3種：相離、相接、包含于；

• 點-體空間關系3種：相離、相接、包含于；

• 線-線空間關系7種：相離、相交、交疊、相等、相接、包含于、包含；

• 線-面空間關系5種：相離、相接、進入、穿越、包含于；

• 線-體空間關系5種：相離、相接、進入、穿越、包含于；

• 面-面空間關系10種：相離、相接、交疊、相等、包含于、包含、覆蓋、被覆蓋、穿越、被穿越；

• 面-體空間關系8種：相離、相接、交疊、進入、包含于、包含、穿越、被穿越；

• 體-體空間關系8種：相離、相接、進入、相等、包含于、包含、穿越、被穿越。

基本空間拓撲關系的計算

點與直線的關系計算

直線方程：

Ax+By+C=0

A=y1-y2,

B=x1-x2,

C=y2x1-y1x2

令S=Axi+Byi+C

• 當S<0 點在順時針方向上；

• 當S=0 點在直線上；

• 當S<0 點在逆指針方向上。

兩條直線關系的計算

直線方程：

Ax+By+C=0

Ex+Fy+G=0

當FA-EB=0時，兩條直線的交點不存在；否則，交點坐標為：

xi=(GB-FC)/(FA-EB)

yi=(CE-AG)/(FA-EB)

空間目標之間的拓撲關系推理

兩條線的直線段之間基本空間拓撲關系的推理

點與其他類型空間目標之間的拓撲關系決策樹

線與面之間的全域空間拓撲關系決策樹

面與面之間的全域空間拓撲關系基本類型的決策樹

空間度量關系

度量關系是在歐氏空間（Euclidean Space）（Blumenthal，1970）和度量空間（Metric Space）（Dhage，1992）上進行的操作，它是一切空間數(shù)據(jù)定量化的基礎。它包含長度、周長、面積、距離等定量的度量關系，其中最主要的度量空間關系是空間對象之間的距離關系。

歐幾里德距離定義如下（Kolountzakis and Kutulakos，1992）：

曼哈頓距離是兩點在南北方向上的距離加在東西方向上的距離（Wu et al.，1987），即：

• • 點與點之間距離&點與線之間距離：dPL(P,L)=min{d1,d2,…dn}

  • 線與線之間的距離：d(L1,L2)=min{d(P1,P2)|P1∈L1,P2 ∈L2}

  • 點與面之間的距離：

    • “中心距離”是點P與面A中幾何中心或者重心之間的距離，

    • “最小距離”是指點P與面A中所有點之間距離的最小值，

    • “大距離”是指點P與面A中所有點之間距離的大值。

  • 面與面之間的距離

    • “中心距離”是指兩個面狀物體的質(zhì)心之間的距離；

    • “最小距離”是指面A1中的點P1與A2中的點P2之間的距離的最小值；

    • “大距離”是指面A1中的點P1與A2中的點P2之間的距離的大值。

空間順序關系及描述方法

錐形模型

每區(qū)域賦予東、南、西和北，為得到更精確的方向關系可對其再進行細分得8或16方向。

最小外接矩形模型

該模型通過延伸目標的MBR的邊，將空間劃分為9個區(qū)域，分別表示為北、東北、東、東南、南、西南、西、西北和目標MBR所在的中心方向。

Freksa-Zimmermann模型

以直線段為參考的定性空間方向模型：以直線為空間參考目標，把二維空間分解為15個方向區(qū)域。

以點為參考目標的基本空間方向

點A與點B的空間方向關系可以用向量AB與正北方向的夾角（順時針）來描述。

• • (a) 點A與點B之間的空間方向關系。

  • (b)點A與直線BC之間的空間方向關系，以角平分線L的方位表示。

  • (c) 用兩條直線的中點代表代表其方位。

以直線為參考目標的基本空間方向

• • (a) 直線AB和直線CD的方向可用向量EF(E和F分別為兩直線的中點)來描述。

  • (b)直線AB和點C的方向關系。

  • (c) 劃分直線段AB的方向片，點C相對直線AB的關系可描述為點C在直線AB的哪個方向片中。

  • (d)直線AB和直線CD的方向可用向量EF(E和F分別為兩直線的中點)來描述，或用向量ED和向量EC來定義。

點與線或面之間的空間方向關系

• • (a) 方向線PS和PE定義了點A與線L之間的全域空間方向關系，點A與P1、P2、P3（中點）的連線定義了點A與不同直線段的局域空間方向關系。

  • (b)方向線PS和PE重和，說明點A被線L包圍，這是全域空間方向關系，點A與P1、P2、P3、P4（中點）的連線定義了點A與不同直線段的局域空間方向關系。

  • (c)方向線PS和PE定義了點A與面B之間的全域空間方向關系，用方向線P1、P2把面域B分為3部分，每部分可以用該錐形的角平分線描述方向關系，這3部分的面積與面積B的總面積之比分別為B1、B2、B3。也可以用該錐形的每個角平分線在面內(nèi)的長度與角平分線在面內(nèi)的總長度之比L1、L2、L3來表示。

  • (d)方向線PS和PE重和，說明點A被面B包圍，這是全域空間方向關系，面域不同和點A之間的局域空間方向關系描述方法與(c)同。

線與點、線或面之間的空間方向計算與描述

• • (a) 線ABCD與點E之間的全域空間方向關系為“相同”，直線段AB與點E之間的局域空間方向關系為“西”。

  • (b) 反映線與線之間的全域空間方向關系，直線段AB與線L2的每條直線段和線的任意子集之間都有局域空間方向關系。

  • (c) 線與面的全域空間方向關系和局域空間方向關系均可象(b)一樣計算和描述。

面與點、線、面之間的空間方向關系計算與描述

• • (a) 面P與點C之間的全域空間方向關系為“相同”，面P的直線AB與點C之間的局域空間方向關系為“北”。

  • (b) 面P與直線EFG之間的全域空間方向關系和局域空間方向關系如圖所示，前者為“東”、“相同”和“南”，而后者為“東”。

  • (c) 把區(qū)域柵格化，判斷子區(qū)域與源目標的全域空間方向關系和局域空間方向關系。

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