使用python的sympy解符號(hào)方程組后，如何將結(jié)果帶入之后的符號(hào)表達(dá)式

Sympy是python中非常強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算庫(kù)，可以以書寫習(xí)慣表示數(shù)學(xué)表達(dá)式。下面介紹用Sympy求方程數(shù)值解的方法。

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下面代碼全部在

from sympy import *

init_printing(use_unicode=True) # 按書寫習(xí)慣輸出

下運(yùn)行。

數(shù)學(xué)表達(dá)式的輸入

首先聲明符號(hào)：

x = symbols('x')

即計(jì)算機(jī)中的變量x代表數(shù)學(xué)表達(dá)式中的x。在后文輸出中所有的x會(huì)顯示為x。如果x=symbols('x0')，則輸入的方程中所有x將在輸出中以x0表示。

如果需要希臘字母

l, r = symbol('lambda rho')

l, r將分別以λ,ρ表示。可以在一個(gè)表達(dá)式中同時(shí)聲明多個(gè)符號(hào)。

或者使用var()聲明：

var('x')

與上面等效。

聲明表達(dá)式：

f = (5/x)*(exp(x)-1)-exp(x)

此時(shí)若輸出f可以看到書寫習(xí)慣的表達(dá)式。由于表達(dá)式在markdown下顯示不正常，在此不放置示例。注意f的類型是class 'sympy.core.add.Add'

求f(x)=0數(shù)值解

因?yàn)橛械暮瘮?shù)零點(diǎn)不止一個(gè)，因此在Sympy中解的輸出為一個(gè)list。使用solve(表達(dá)式，自變量符號(hào))可以解析地解方程：

s, = solve(f, x)

這里根據(jù)上面f的賦值，得到s為

LambertW(-5e**-5)+5

其中用了特殊函數(shù)表達(dá)。

我們需要求這個(gè)結(jié)果的數(shù)值近似，則輸出

s.evalf()

得到輸出

4.96511423174428

就是方程f(x)=0的數(shù)值解。

求給定自變量x值時(shí)函數(shù)f(x)的值 | 將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

f.evalf(subs = {x:4.96})

得到f(4.96)的數(shù)值

0.141885450782171

如果需要以計(jì)算機(jī)函數(shù)的形式定義函數(shù)f(x)，則可以使用lambdify()進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

f_func = lambdify(x, f)

之后可以調(diào)用

f_func(4.96)

輸出

0.141885450782

利用這個(gè)方法可以測(cè)試方程的數(shù)值算法，如使用sympy接口寫牛頓法等。

如何用python編程求解二元一次方程組。如x+y=3;x-y=1

利用 numpy 很簡(jiǎn)單。可以利用pip安裝

pip?install?numpy

然后（以你的方程為例），python 下

Python?2.7.10?(default,?Oct?23?2015,?19:19:21)?

[GCC?4.2.1?Compatible?Apple?LLVM?7.0.0?(clang-700.0.59.5)]?on?darwin

Type?"help",?"copyright",?"credits"?or?"license"?for?more?information.

import?numpy?as?np

a?=?np.array([[1,1],[1,-1]])

b?=?np.array([3,1])

print?np.linalg.solve(a,b)

[?2.??1.]

如果你學(xué)過 線性代數(shù)，那么這段代碼很好理解。

python怎么實(shí)現(xiàn)方程組的解隨參數(shù)變化

不是很明確你需要做到什么程度，但基本可以通過以下兩個(gè)手段得到：

手工解方程得到解析解，然后套入公式

使用一些工具包例如numpy可以自動(dòng)求解

以下都給出例子

import?numpy?as?np

import?matplotlib.pyplot?as?plt

plt.axis("equal")

a?=?np.linspace(1,10,100)?#?a?的變化范圍可以自己挑，前兩個(gè)參數(shù)控制，

#?使用?numpy?自動(dòng)求解

res?=?[]

for?x?in?a:

A?=?np.mat("1,?2;?{},?-1".format(x))

b?=?np.mat("{},?10".format(x)).T

res.append(np.linalg.solve(A,?b))

#?計(jì)算完畢后取出每對(duì)x和y

x1?=?[float(r[0])?for?r?in?res]

y1?=?[float(r[1])?for?r?in?res]

plt.plot(x1,?y1)

#####################################

#?手工計(jì)算過程很簡(jiǎn)單不放上來了，直接上結(jié)果

x2?=?[(a1?+?20)?/?(2*a1?+?1)?for?a1?in?a]

y2?=?[(a1**2?-?10)?/?(2*a1?+?1)?for?a1?in?a]

plt.plot(x2,?y2)

常微分方程的解析解(方法歸納)以及基于Python的微分方程數(shù)值解算例實(shí)現(xiàn)

本文歸納常見常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程數(shù)值解算例實(shí)現(xiàn)。

考慮常微分方程的解析解法，我們一般可以將其歸納為如下幾類：

這類微分方程可以變形成如下形式：

兩邊同時(shí)積分即可解出函數(shù)，難點(diǎn)主要在于不定積分，是最簡(jiǎn)單的微分方程。

某些方程看似不可分離變量，但是經(jīng)過換元之后，其實(shí)還是可分離變量的，不要被這種方程迷惑。

形如

的方程叫做一階線性微分方程，若 為0，則方程齊次，否則稱為非齊次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程

形如

的方程稱為伯努利方程，這種方程可以通過以下步驟化為一階線性微分方程：

令 , 方程兩邊同時(shí)乘以 ，得到

即 .

這就將伯努利方程歸結(jié)為可以套公式的一階線性微分方程。

形如

的方程稱為二階常系數(shù)微分方程，若 ，則方程稱為齊次的，反之稱為非齊次的。以下默認(rèn)方程是非齊次的。

求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

首先假設(shè) .用特征方程法，寫出對(duì)應(yīng)的特征方程并且求解：

解的情況分為以下三種：

情況一：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

假設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)解分別是 , 此時(shí)方程的通解是

情況二：方程有一個(gè)二重解

假設(shè)該解等于 ，此時(shí)方程的通解是

情況三：方程有一對(duì)共軛復(fù)解

假設(shè)這對(duì)解是 , 此時(shí)方程的通解是

對(duì)于 和特征根的情況，對(duì)特解的情況做如下歸納：

形如

的方程叫做高階常系數(shù)微分方程，若 ，則方程是齊次的，否則是非齊次的。下面默認(rèn)方程是非齊次的。

求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

考慮帶有第三類邊界條件的二階常系數(shù)微分方程邊值問題

問題一:兩點(diǎn)邊值問題的解析解

由于此方程是非齊次的,故 求解此類方程分兩步：

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

首先假設(shè) . 用特征方程法，寫出對(duì)應(yīng)的特征方程

求解得到兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)特征根: .

此時(shí)方程的齊次通解是

由于 . 所以非齊次特解形式為

將上式代入控制方程有

求解得: , 即非齊次特解為 .

原方程的解 = 齊次通解 + 非齊次特解

于是,原方程的全解為

因?yàn)樵搯栴}給出的是第三類邊界條件,故需要求解的導(dǎo)函數(shù)

且有

將以上各式代入邊界條件

解此方程組可得: .

綜上所述,原兩點(diǎn)邊值問題的解為

對(duì)一般的二階微分方程邊值問題

假定其解存在唯一,

為求解的近似值, 類似于前面的做法,

考慮帶有第三類邊界條件的二階常系數(shù)微分方程邊值問題

問題二:有限差分方法算出其數(shù)值解及誤差

對(duì)于 原問題 ,取步長(zhǎng) h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并將結(jié)果與 精確解y(x)=-x-1 進(jìn)行比較.

因?yàn)?/p>

先以將區(qū)間劃分為5份為例，求出數(shù)值解

結(jié)果:

是不是解出數(shù)值解就完事了呢？當(dāng)然不是。我們可以將問題的差分格式解與問題的真解進(jìn)行比較，以得到解的可靠性。通過數(shù)學(xué)計(jì)算我們得到問題的真解為 ，現(xiàn)用范數(shù)來衡量誤差的大小：

結(jié)果:

接下來繪圖比較 時(shí)數(shù)值解與真解的差距：

結(jié)果:

將區(qū)間劃分為 份, 即 時(shí).

結(jié)果:

繪圖比較 時(shí)數(shù)值解與真解的差距：

最后，我們還可以從數(shù)學(xué)的角度分析所采用的差分格式的一些性質(zhì)。因?yàn)椴罘指袷降恼`差為 ， 所以理論上來說網(wǎng)格每加密一倍，與真解的誤差大致會(huì)縮小到原來的 . 下討論網(wǎng)格加密時(shí)的變化：

結(jié)果：

用python如何得到一個(gè)方程的多個(gè)解

方法/步驟

用Python解數(shù)學(xué)方程，需要用到Python的一個(gè)庫(kù)——SymPy庫(kù)。

SymPy是符號(hào)數(shù)學(xué)的Python庫(kù)，它的目標(biāo)是成為一個(gè)全功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)保持代碼簡(jiǎn)潔、易于理解和擴(kuò)展。

如果你的電腦上還沒有安裝sympy庫(kù)，那就趕緊安裝吧，安裝命令：

pip3 install sympy

請(qǐng)點(diǎn)擊輸入圖片描述

先來解一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的方程吧。

題目： 5x + 20 = 100

先直接上代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

print(solve([5*x + 20 - 100], [x]))

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再來一個(gè)復(fù)雜點(diǎn)的二元一次方程吧。

題目：3x + 4y =49,?8x- y = 14

代碼如下：

from sympy import *

x = Symbol('x')

y = Symbol('y')

print(solve([3*x + 4*y - 49, 8*x - y - 14], [x, y]))

請(qǐng)點(diǎn)擊輸入圖片描述

有沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢，簡(jiǎn)單總結(jié)一下：

1）變量賦值，使用symbol函數(shù)轉(zhuǎn)換；

2）將方程式移到方程的左邊，使右邊等于0；

3）使用solve函數(shù)解方程。

當(dāng)然了，python的基礎(chǔ)語(yǔ)法必須掌握，至少需要掌握python最基礎(chǔ)的算數(shù)運(yùn)算符。

+ ?加 ---- 兩個(gè)對(duì)象相加

- ?減 ----- 得到負(fù)數(shù)或是一個(gè)數(shù)減去另一個(gè)數(shù)

* ?乘 ----- 兩個(gè)數(shù)相乘或是返回一個(gè)被重復(fù)若干次的字符串

/ ?除 ----- x 除以 y

% ?取模 ----- 返回除法的余數(shù)

** ?冪 ----- 返回x的y次冪

log() ?對(duì)數(shù)-----對(duì)數(shù) log()

下面來個(gè)難度大點(diǎn)的方程。

請(qǐng)點(diǎn)擊輸入圖片描述

代碼如下：

from sympy import *

t = Symbol('t')

x = Symbol('x')

m = integrate(sin(t)/(pi-t), (t, 0, x))

print(integrate(m, (x, 0, pi)))

請(qǐng)點(diǎn)擊輸入圖片描述

網(wǎng)頁(yè)標(biāo)題：python解方程組函數(shù) 如何解函數(shù)方程組
本文網(wǎng)址：http://chinadenli.net/article34/hppope.html

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