矩陣的行秩與列秩的定義？

這個定義涉及到向量的極大線性無關組。設a1,a2……as為一個n維向量組，如果向量組中有r個向量線性無關，而任何r+1個向量都線性相關，那么這r個線性無關的向量稱為向量組的一個極大線性無關組。

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向量組的極大線性無關組中所含向量的個數(shù)，稱為向量的秩。

矩陣的行向量的秩稱為行秩。列向量的秩成為列秩。

矩陣的行秩和列秩怎么求

三秩相等,也就是矩陣的秩等于行秩等于列秩,按照一般的求矩陣的秩就ok了

行秩和列秩是什么?

一個矩陣中行秩與列秩是相等的，矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。

在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數(shù)目。

即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數(shù)。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或rank?A。

性質(zhì)及定理：

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab=min{Ra，Rb}。

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n，則A的列秩，秩都等于n。

當r(A)=n-2時，最高階非零子式的階數(shù)=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)=n-1時，最高階非零子式的階數(shù)=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。

Python pandas用法

在Python中，pandas是基于NumPy數(shù)組構(gòu)建的，使數(shù)據(jù)預處理、清洗、分析工作變得更快更簡單。pandas是專門為處理表格和混雜數(shù)據(jù)設計的，而NumPy更適合處理統(tǒng)一的數(shù)值數(shù)組數(shù)據(jù)。

使用下面格式約定，引入pandas包：

pandas有兩個主要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：Series和DataFrame。

Series是一種類似于一維數(shù)組的對象，它由 一組數(shù)據(jù) （各種NumPy數(shù)據(jù)類型）以及一組與之相關的 數(shù)據(jù)標簽（即索引） 組成，即index和values兩部分，可以通過索引的方式選取Series中的單個或一組值。

pd.Series(list,index=[ ]) ，第二個參數(shù)是Series中數(shù)據(jù)的索引，可以省略。

Series類型索引、切片、運算的操作類似于ndarray，同樣的類似Python字典類型的操作，包括保留字in操作、使用.get()方法。

Series和ndarray之間的主要區(qū)別在于Series之間的操作會根據(jù)索引自動對齊數(shù)據(jù)。

DataFrame是一個表格型的數(shù)據(jù)類型，每列值類型可以不同，是最常用的pandas對象。DataFrame既有行索引也有列索引，它可以被看做由Series組成的字典（共用同一個索引）。DataFrame中的數(shù)據(jù)是以一個或多個二維塊存放的（而不是列表、字典或別的一維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）。

pd.DataFrame(data,columns = [ ],index = [ ]) ：columns和index為指定的列、行索引，并按照順序排列。

如果創(chuàng)建時指定了columns和index索引，則按照索引順序排列，并且如果傳入的列在數(shù)據(jù)中找不到，就會在結(jié)果中產(chǎn)生缺失值：

數(shù)據(jù)索引 ：Series和DataFrame的索引是Index類型，Index對象是不可修改，可通過索引值或索引標簽獲取目標數(shù)據(jù)，也可通過索引使序列或數(shù)據(jù)框的計算、操作實現(xiàn)自動化對齊。索引類型index的常用方法：

重新索引 ：能夠改變、重排Series和DataFrame索引，會創(chuàng)建一個新對象，如果某個索引值當前不存在，就引入缺失值。

df.reindex(index, columns ,fill_value, method, limit, copy ) ：index/columns為新的行列自定義索引；fill_value為用于填充缺失位置的值；method為填充方法，ffill當前值向前填充，bfill向后填充；limit為最大填充量；copy 默認True，生成新的對象，F(xiàn)alse時，新舊相等不復制。

刪除指定索引 ：默認返回的是一個新對象。

.drop() ：能夠刪除Series和DataFrame指定行或列索引。

刪除一行或者一列時，用單引號指定索引，刪除多行時用列表指定索引。

如果刪除的是列索引，需要增加axis=1或axis='columns'作為參數(shù)。

增加inplace=True作為參數(shù)，可以就地修改對象，不會返回新的對象。

在pandas中，有多個方法可以選取和重新組合數(shù)據(jù)。對于DataFrame，表5-4進行了總結(jié)

適用于Series和DataFrame的基本統(tǒng)計分析函數(shù) ：傳入axis='columns'或axis=1將會按行進行運算。

.describe() ：針對各列的多個統(tǒng)計匯總，用統(tǒng)計學指標快速描述數(shù)據(jù)的概要。

.sum() ：計算各列數(shù)據(jù)的和

.count() ：非NaN值的數(shù)量

.mean( )/.median() ：計算數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值、算術(shù)中位數(shù)

.var()/.std() ：計算數(shù)據(jù)的方差、標準差

.corr()/.cov() ：計算相關系數(shù)矩陣、協(xié)方差矩陣，是通過參數(shù)對計算出來的。Series的corr方法用于計算兩個Series中重疊的、非NA的、按索引對齊的值的相關系數(shù)。DataFrame的corr和cov方法將以DataFrame的形式分別返回完整的相關系數(shù)或協(xié)方差矩陣。

.corrwith() ：利用DataFrame的corrwith方法，可以計算其列或行跟另一個Series或DataFrame之間的相關系數(shù)。傳入一個Series將會返回一個相關系數(shù)值Series（針對各列進行計算），傳入一個DataFrame則會計算按列名配對的相關系數(shù)。

.min()/.max() ：計算數(shù)據(jù)的最小值、最大值

.diff() ：計算一階差分，對時間序列很有效

.mode() ：計算眾數(shù)，返回頻數(shù)最高的那（幾）個

.mean() ：計算均值

.quantile() ：計算分位數(shù)（0到1）

.isin() ：用于判斷矢量化集合的成員資格，可用于過濾Series中或DataFrame列中數(shù)據(jù)的子集

適用于Series的基本統(tǒng)計分析函數(shù)，DataFrame[列名]返回的是一個Series類型。

.unique() ：返回一個Series中的唯一值組成的數(shù)組。

.value_counts() ：計算一個Series中各值出現(xiàn)的頻率。

.argmin()/.argmax() ：計算數(shù)據(jù)最大值、最小值所在位置的索引位置（自動索引）

.idxmin()/.idxmax() ：計算數(shù)據(jù)最大值、最小值所在位置的索引（自定義索引）

pandas提供了一些用于將表格型數(shù)據(jù)讀取為DataFrame對象的函數(shù)。下表對它們進行了總結(jié)，其中read_csv()、read_table()、to_csv()是用得最多的。

在數(shù)據(jù)分析和建模的過程中，相當多的時間要用在數(shù)據(jù)準備上：加載、清理、轉(zhuǎn)換以及重塑。

在許多數(shù)據(jù)分析工作中，缺失數(shù)據(jù)是經(jīng)常發(fā)生的。對于數(shù)值數(shù)據(jù)，pandas使用浮點值NaN（np.nan）表示缺失數(shù)據(jù)，也可將缺失值表示為NA（Python內(nèi)置的None值）。

替換值

.replace(old, new) ：用新的數(shù)據(jù)替換老的數(shù)據(jù)，如果希望一次性替換多個值，old和new可以是列表。默認會返回一個新的對象，傳入inplace=True可以對現(xiàn)有對象進行就地修改。

刪除重復數(shù)據(jù)

利用函數(shù)或字典進行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

df.head()：查詢數(shù)據(jù)的前五行

df.tail()：查詢數(shù)據(jù)的末尾5行

pandas.cut()

pandas.qcut() 基于分位數(shù)的離散化函數(shù)。基于秩或基于樣本分位數(shù)將變量離散化為等大小桶。

pandas.date_range() 返回一個時間索引

df.apply() 沿相應軸應用函數(shù)

Series.value_counts() 返回不同數(shù)據(jù)的計數(shù)值

df.aggregate()

df.reset_index() 重新設置index，參數(shù)drop = True時會丟棄原來的索引，設置新的從0開始的索引。常與groupby()一起用

numpy.zeros()

什么是數(shù)組的維度，python 的ndim的使用

NumPy數(shù)組（1、數(shù)組初探）

更新

目前我的工作是將NumPy引入到Pyston中（一款Dropbox實現(xiàn)的Python編譯器/解釋器）。在工作過程中，我深入接觸了NumPy源碼，了解其實現(xiàn)并提交了PR修復NumPy的bug。在與NumPy源碼以及NumPy開發(fā)者打交道的過程中，我發(fā)現(xiàn)當今中文NumPy教程大部分都是翻譯或參考英文文檔，因此導致了許多疏漏。比如NumPy數(shù)組中的broadcast功能，幾乎所有中文文檔都翻譯為“廣播”。而NumPy的開發(fā)者之一，回復到“broadcast is a compound -- native English speakers can see that it's " broad" + "cast" = "cast (scatter, distribute) broadly, I guess "cast (scatter, distribute) broadly" probably is closer to the meaning（NumPy中的含義）"。有鑒于此，我打算啟動一個項目，以我對NumPy使用以及源碼層面的了解編寫一個系列的教程。

地址隨后會更新。CSDN的排版（列表）怎么顯示不正常了。。。

NumPy數(shù)組

NumPy數(shù)組是一個多維數(shù)組對象，稱為ndarray。其由兩部分組成：

實際的數(shù)據(jù)

描述這些數(shù)據(jù)的元數(shù)據(jù)

大部分操作僅針對于元數(shù)據(jù)，而不改變底層實際的數(shù)據(jù)。

關于NumPy數(shù)組有幾點必需了解的：

NumPy數(shù)組的下標從0開始。

同一個NumPy數(shù)組中所有元素的類型必須是相同的。

NumPy數(shù)組屬性

在詳細介紹NumPy數(shù)組之前。先詳細介紹下NumPy數(shù)組的基本屬性。NumPy數(shù)組的維數(shù)稱為秩（rank），一維數(shù)組的秩為1，二維數(shù)組的秩為2，以此類推。在NumPy中，每一個線性的數(shù)組稱為是一個軸（axes），秩其實是描述軸的數(shù)量。比如說，二維數(shù)組相當于是兩個一維數(shù)組，其中第一個一維數(shù)組中每個元素又是一個一維數(shù)組。所以一維數(shù)組就是NumPy中的軸（axes），第一個軸相當于是底層數(shù)組，第二個軸是底層數(shù)組里的數(shù)組。而軸的數(shù)量——秩，就是數(shù)組的維數(shù)。

NumPy的數(shù)組中比較重要ndarray對象屬性有：

ndarray.ndim：數(shù)組的維數(shù)（即數(shù)組軸的個數(shù)），等于秩。最常見的為二維數(shù)組（矩陣）。

ndarray.shape：數(shù)組的維度。為一個表示數(shù)組在每個維度上大小的整數(shù)元組。例如二維數(shù)組中，表示數(shù)組的“行數(shù)”和“列數(shù)”。ndarray.shape返回一個元組，這個元組的長度就是維度的數(shù)目，即ndim屬性。

ndarray.size：數(shù)組元素的總個數(shù)，等于shape屬性中元組元素的乘積。

ndarray.dtype：表示數(shù)組中元素類型的對象，可使用標準的Python類型創(chuàng)建或指定dtype。另外也可使用前一篇文章中介紹的NumPy提供的數(shù)據(jù)類型。

ndarray.itemsize：數(shù)組中每個元素的字節(jié)大小。例如，一個元素類型為float64的數(shù)組itemsiz屬性值為8(float64占用64個bits，每個字節(jié)長度為8，所以64/8，占用8個字節(jié)），又如，一個元素類型為complex32的數(shù)組item屬性為4（32/8）。

ndarray.data：包含實際數(shù)組元素的緩沖區(qū)，由于一般通過數(shù)組的索引獲取元素，所以通常不需要使用這個屬性。

創(chuàng)建數(shù)組

先來介紹創(chuàng)建數(shù)組。創(chuàng)建數(shù)組的方法有很多。如可以使用array函數(shù)從常規(guī)的Python列表和元組創(chuàng)造數(shù)組。所創(chuàng)建的數(shù)組類型由原序列中的元素類型推導而來。　

python關于numpy基礎問題

Python發(fā)展至今，已經(jīng)有越來越多的人使用python進行科學技術(shù)，NumPY是python中的一款高性能科學計算和數(shù)據(jù)分析的基礎包。

ndarray

ndarray（以下簡稱數(shù)組）是numpy的數(shù)組對象，需要注意的是，它是同構(gòu)的，也就是說其中的所有元素必須是相同的類型。其中每個數(shù)組都有一個shape和dtype。

shape既是數(shù)組的形狀，比如

復制代碼

1 import numpy as np

2 from numpy.random import randn

3

4 arr = randn(12).reshape(3, 4)

5

6 arr

7

8 [[ 0.98655235 1.20830283 -0.72135183 0.40292924]

9 [-0.05059849 -0.02714873 -0.62775486 0.83222997]

10 [-0.84826071 -0.29484606 -0.76984902 0.09025059]]

11

12 arr.shape

13 (3, 4)

復制代碼

其中(3, 4)即代表arr是3行4列的數(shù)組，其中dtype為float64

一下函數(shù)可以用來創(chuàng)建數(shù)組

array將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為ndarray，類型可制定也可默認

asarray將輸入轉(zhuǎn)換為ndarray

arange類似內(nèi)置range

ones、ones_like根據(jù)形狀創(chuàng)建一個全1的數(shù)組、后者可以復制其他數(shù)組的形狀

zeros、zeros_like類似上面，全0

empty、empty_like創(chuàng)建新數(shù)組、只分配空間

eye、identity創(chuàng)建對角線為1的對角矩陣

數(shù)組的轉(zhuǎn)置和軸對稱

轉(zhuǎn)置是多維數(shù)組的基本運算之一。可以使用.T屬性或者transpose()來實現(xiàn)。.T就是進行軸對換而transpose則可以接收參數(shù)進行更豐富的變換

復制代碼

arr = np.arange(6).reshape((2,3))

print arr

[[0 1 2]

[3 4 5]]

print arr.T

[[0 3]

[1 4]

[2 5]]

arr = np.arange(24).reshape((2,3,4))

print arr

[[[ 0 1 2 3]

[ 4 5 6 7]

[ 8 9 10 11]]

[[12 13 14 15]

[16 17 18 19]

[20 21 22 23]]]

print arr.transpose((0,1,2))

[[[ 0 1 2 3]

[ 4 5 6 7]

[ 8 9 10 11]]

[[12 13 14 15]

[16 17 18 19]

[20 21 22 23]]]

復制代碼

數(shù)組的運算

大小相等的數(shù)組之間做任何算術(shù)運算都會將運算應用到元素級別。

復制代碼

1 arr = np.arange(9).reshape(3, 3)

2 print arr

3

4 [[0 1 2]

5 [3 4 5]

6 [6 7 8]]

7

8 print arr*arr

9

10 [[ 0 1 4]

11 [ 9 16 25]

12 [36 49 64]]

13

14 print arr+arr

15

16 [[ 0 2 4]

17 [ 6 8 10]

18 [12 14 16]]

19

20 print arr*4

21

22 [[ 0 4 8]

23 [12 16 20]

24 [24 28 32]]

復制代碼

numpy的簡單計算中，ufunc通用函數(shù)是對數(shù)組中的數(shù)據(jù)執(zhí)行元素級運算的函數(shù)。

如：

復制代碼

arr = np.arange(6).reshape((2,3))

print arr

[[0 1 2]

[3 4 5]]

print np.square(arr)

[[ 0 1 4]

[ 9 16 25]]

復制代碼

類似的有：abs,fabs,sqrt,square,exp,log,sign,ceil,floor,rint,modf,isnan,isfinite,isinf,cos,cosh,sin,sinh,tan,tanh，

add,subtract,multiply,power,mod,equal,等等

標題名稱：python矩陣行秩函數(shù),python求矩陣行數(shù)
本文地址：http://chinadenli.net/article34/heccpe.html

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