【數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】二叉樹-創(chuàng)新互聯(lián)

二叉樹概念

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在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，二叉樹是每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子樹的樹結(jié)構(gòu)。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用于實(shí)現(xiàn)二叉查找樹和二叉堆。

二叉樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多只有二棵子樹(不存在度大于2的結(jié)點(diǎn))，二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。二叉樹的第i層至多有2^{i-1}個(gè)結(jié)點(diǎn)；深度為k 的二叉樹至多有2^k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)；對(duì)任何一棵二叉樹T，如果其終端結(jié)點(diǎn)數(shù)為n_0，度為2的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n_2，則n_0=n_2+1。

(1)完全二叉樹——若設(shè)二叉樹的高度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到大個(gè)數(shù)，第h層有葉子結(jié)點(diǎn)，并且葉子結(jié)點(diǎn)都是從左到右依次排布，這就是完全二叉樹。

(2)滿二叉樹——除了葉結(jié)點(diǎn)外每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有左右子葉且葉子結(jié)點(diǎn)都處在最底層的二叉樹。

二叉樹性質(zhì)

(1) 在非空二叉樹中，第i層的結(jié)點(diǎn)總數(shù)不超過(guò)2^(i-1) , i>=1；

(2) 深度為h的二叉樹最多有2^h - 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)(h>=1)，最少有h個(gè)結(jié)點(diǎn)；

(3) 對(duì)于任意一棵二叉樹，如果其葉結(jié)點(diǎn)數(shù)為N0，而度數(shù)為2的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為N2，則N0=N2+1；

(4) 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為log 2 (n+1) [ log 以2為底的 n+1 ]

存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)：順序存儲(chǔ)，鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)

遍歷方式：前序遍歷，中序遍歷，后序遍歷

前序遍歷：

void _PreOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        cout << root->_data << " ";
        _PreOrder(root->_left);
        _PreOrder(root->_right);
    }

中序遍歷：

void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_data << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

后序遍歷：

void _PostOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;
        _PostOrder(root->_left);
        _PostOrder(root->_right);
        cout << root->_data << " ";
    }

此外，對(duì)于二叉樹的操作還有：

樹的深度Depth()

樹的大小Size()

葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)LeafSize()

K層也加點(diǎn)個(gè)數(shù) GetKLevel()

實(shí)現(xiàn)如下：

Depth()：

size_t _Depth(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;

        int leftDepth = _Depth(root->_left);
        int rightDepth = _Depth(root->_right);

        return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
    }

Size()：

size_t _Size(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

LeafSize()：

void _LeafSize(Node* root, size_t& size) // size需傳引用，以保證每次在上次的調(diào)用加值，否則size結(jié)果為0
    {
        if (root == NULL)
            return;
        if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
        {
            ++size;
            return;
        }
        _LeafSize(root->_left,size);
        _LeafSize(root->_right, size);
    }

GetKLevel()：

void _GetKLevel(Node* root, int k,
        size_t level, size_t& kSize)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        if (level == k)
        {
            ++kSize;
            return;
        }

        _GetKLevel(root->_left, k, level + 1, kSize);
        _GetKLevel(root->_right, k, level + 1, kSize);
    }

至此，二叉樹的基本操作已經(jīng)完成。

我們發(fā)現(xiàn)在實(shí)現(xiàn)二叉樹的前序，中序，后序遍歷時(shí)都是利用遞歸的機(jī)制，那么非遞歸又是怎么實(shí)現(xiàn)的呢？

在此，寫出三種不同遍歷方式的非遞歸方式實(shí)現(xiàn)：

前序遍歷（非遞歸）：

void _PreOrder_NoR() 
    {
        stack<Node*> s;
        if (_root)
        {
            s.push(_root);
        }

        while (!s.empty())
        {
            Node* top = s.top();
            cout << top->_data << " ";

            s.pop();

            if (top->_right) // 先壓右樹，后壓左樹
            {
                s.push(top->_right); 
            }
            if (top->_left)
            {
                s.push(top->_left);
            }
        }
    }

中序遍歷（非遞歸）：

void _InOrder_NoR() 
    {
        Node* cur = _root;
        stack<Node*> s;

        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                // 1.壓一棵樹的左路節(jié)點(diǎn)，直到最左節(jié)點(diǎn)
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }
             // 2.棧不為空，出棧訪問(wèn)，并移向右樹，判斷右樹是否為空，后循環(huán)此操作，直至棧為空
            if (!s.empty())
            {
                Node* top = s.top();
                s.pop();
                cout << top->_data << " ";
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

后序遍歷（非遞歸）：

void _PostOrder_NoR()
    {
        Node* pre = NULL;
        Node* cur = _root;
        stack<Node*> s;
        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }

            Node* top = s.top();
            if (top->_right == NULL || top->_right == pre)
            {
                cout << top->_data << " ";
                s.pop();
                pre = top;
            }
            else
            {
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

發(fā)現(xiàn)，非遞歸的實(shí)現(xiàn)是利用棧結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)和管理二叉樹的。

附源代碼以及測(cè)試代碼：

BinaryTree.h 文件：

#pragma once 

#include <stack>
template <class T>
struct BinaryTreeNode
{
    T _data;
    BinaryTreeNode<T>* _left;
    BinaryTreeNode<T>* _right;

    BinaryTreeNode(const T& x)
        : _data(x)
        , _left(NULL)
        , _right(NULL)
    {}
};

template <class T>
class BinaryTree
{
    typedef BinaryTreeNode<T> Node;
public:
    BinaryTree()
        :_root(NULL)
    {}

    BinaryTree(const T* a, size_t size, const T& invalid)
    {
        size_t index = 0;
        _root = _CreatBinaryTree( a, size, index, invalid);
    }

    BinaryTree(const BinaryTree<T>& t)
    {
        _root = _Copy(t._root);
    }

    //BinaryTree<T>& operator=(const BinaryTree<T>& t)
    //{
    //    if (this != &t)
    //    {
    //        Node* tmp = _Copy(t._root);
    //        _Destory(_root);
    //        _root = tmp;
    //    }
    //    return *this;
    //}

    BinaryTree<T>& operator=(BinaryTree<T> t)
    {
        swap(this->_root, t._root);
        return *this;
    }

    ~BinaryTree()
    {
        _Destory(_root);
        _root = NULL;
    }

    void PreOrder()
    {
        _PreOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    void PostOrder()
    {
        _PostOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    size_t Size()
    {
        return _Size(_root);
    }

    size_t Depth()
    {
        return _Depth(_root);
    }

    size_t LeafSize()
    {
        size_t size = 0;
        _LeafSize(_root,size);
        return size;
    }

    size_t GetKLevel(int k)
    {
        size_t kSize = 0;
        size_t level = 1;
        _GetKLevel(_root,k,level,kSize);

        return kSize;
    }

    void PreOrder_NoR()
    {
        _PreOrder_NoR();
        cout << endl;
    }

    void InOrder_NoR()
    {
        _InOrder_NoR();
        cout << endl;
    }

    void PostOrder_NoR()
    {
        _PostOrder_NoR();
        cout << endl;
    }


protected:
    void _Destory(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        _Destory(root->_left);
        _Destory(root->_right);

        delete root;
    }

    Node* _Copy(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return NULL;
        }

        Node* newRoot = new Node(root->_data);
        newRoot->_left = _Copy(root->_left);
        newRoot->_right = _Copy(root->_right);

        return newRoot;
    }

    Node* _CreatBinaryTree(const T* a, size_t size,
                            size_t& index, const T& invalid)
    {
        Node* root = NULL;
        while (index < size && a[index] != invalid)
        {
            root = new Node(a[index]); // new并初始化
            root->_left = _CreatBinaryTree( a, size, ++index, invalid);
            root->_right = _CreatBinaryTree( a, size, ++index, invalid);
        }
        return root;
    }

    void _PreOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        cout << root->_data << " ";
        _PreOrder(root->_left);
        _PreOrder(root->_right);
    }

    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_data << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

    void _PostOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;
        _PostOrder(root->_left);
        _PostOrder(root->_right);
        cout << root->_data << " ";
    }

    size_t _Size(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

    size_t _Depth(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;

        int leftDepth = _Depth(root->_left);
        int rightDepth = _Depth(root->_right);

        return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
    }

    void _LeafSize(Node* root, size_t& size) // size需傳引用，以保證每次在上次的調(diào)用加值，否則size結(jié)果為0
    {
        if (root == NULL)
            return;
        if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
        {
            ++size;
            return;
        }
        _LeafSize(root->_left,size);
        _LeafSize(root->_right, size);
    }

    void _GetKLevel(Node* root, int k,
        size_t level, size_t& kSize)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        if (level == k)
        {
            ++kSize;
            return;
        }

        _GetKLevel(root->_left, k, level + 1, kSize);
        _GetKLevel(root->_right, k, level + 1, kSize);
    }

    void _PreOrder_NoR() // 前序遍歷->非遞歸
    {
        stack<Node*> s;
        if (_root)
        {
            s.push(_root);
        }

        while (!s.empty())
        {
            Node* top = s.top();
            cout << top->_data << " ";

            s.pop();

            if (top->_right) // 先壓右樹，后壓左樹
            {
                s.push(top->_right); 
            }
            if (top->_left)
            {
                s.push(top->_left);
            }
        }
    }

    void _InOrder_NoR() 
    {
        Node* cur = _root;
        stack<Node*> s;

        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                // 1.壓一棵樹的左路節(jié)點(diǎn)，直到最左節(jié)點(diǎn)
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }
             // 2.棧不為空，出棧訪問(wèn)，并移向右樹，判斷右樹是否為空，后循環(huán)此操作，直至棧為空
            if (!s.empty())
            {
                Node* top = s.top();
                s.pop();
                cout << top->_data << " ";
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

    void _PostOrder_NoR()
    {
        Node* pre = NULL;
        Node* cur = _root;
        stack<Node*> s;
        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }

            Node* top = s.top();
            if (top->_right == NULL || top->_right == pre)
            {
                cout << top->_data << " ";
                s.pop();
                pre = top;
            }
            else
            {
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

protected:
    Node* _root;
};

Test.cpp 文件：

#include <iostream>
using namespace std;

#include "BinaryTree.h"

int main()
{
    int a[10] = { 1, 2, 3, '#', '#', 4, '#', '#', 5, 6 };
    BinaryTree<int> t( a, 10, '#');

    cout << t.Depth() << endl;
    cout << t.Size() << endl;

    t.PreOrder();
    t.InOrder();
    t.PostOrder();

    cout<< t.GetKLevel(1) << endl;
    cout << t.GetKLevel(3) << endl;

    cout << t.LeafSize() << endl;

    t.PreOrder_NoR();
    t.InOrder_NoR();
    t.PostOrder_NoR();

    system("pause");
    return 0;
}

若有紕漏，歡迎指正。

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