怎樣判斷兩個函數(shù)是不是反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x）根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= f(y)，然后再將這個函數(shù)中的X，Y互換，如果得到的函數(shù)與另一函數(shù)一樣，則兩個函數(shù)互為反函數(shù)。

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但要注意的是，這兩個函數(shù)必須都是單調(diào)的，且一個函數(shù)的定義域是另一個函數(shù)的值域。

怎樣判斷一個函數(shù)有反函數(shù)呢

一.

一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f（x）相對應(yīng)，y=f（x）。則y=f（x）的反函數(shù)為y=f-1（x）。

存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的(不一定是整個數(shù)域內(nèi)的)

【反函數(shù)的性質(zhì)】

（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)在它的定義域上是單調(diào)的；

（3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（4）偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

(5)一切隱函數(shù)具有反函數(shù)；

(6)一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（7）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。

（8）反函數(shù)是相互的

（9）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆

（10）不是所有函數(shù)都有反函數(shù)如y=x的偶次方

例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函數(shù)是y=log2

x

例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù)

解：y=3x-2的定義域為R，值域為R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是

y=1/3(x+2)

怎么判斷函數(shù)有沒有反函數(shù)要過程.

判斷函數(shù)有沒有反函數(shù)的方法：只要是一一映射就有反函數(shù)。

也就是說，只要原函數(shù)一個y對應(yīng)且僅對應(yīng)一個x，這個函數(shù)就有反函數(shù)。

例如：

例1：一次函數(shù)

y=kx+b

有反函數(shù)。因為一個y對應(yīng)一個x。

例2：二次函數(shù)

y

=y=x2沒有反函數(shù)，

y=x2

當(dāng)y=1時，x=1或-1，y對應(yīng)2個x。不是一一映射。

如何判斷一個方程為反函數(shù)

反函數(shù) 一般地,如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f（x）相對應(yīng),y=f（x）.則y=f（x）的反函數(shù)為y= f ‘（x）.

存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的(不一定是整個數(shù)域內(nèi)的)

【反函數(shù)的性質(zhì)】

（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是,函數(shù)的定義域與值域是一一映射；

（3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）.奇函數(shù)不一定存在反函數(shù).被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù).若一個奇函數(shù)存在反函數(shù),則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).

(5)一切隱函數(shù)具有反函數(shù)；

(6)一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（7）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】.

（8）反函數(shù)是相互的

（9）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）

(10)原函數(shù)一旦確定,反函數(shù)即確定（三定）

例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x

例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù)

y=3x-2的定義域為R,值域為R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是

y=1/3(x+2)（x屬于R）

（11）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果X=F(X）在區(qū)間I上單調(diào),可導(dǎo),且F‘（Y）不等于0,那么他的反函數(shù)Y=F’（X）在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內(nèi)也可導(dǎo),且[F‘（X)]'=1\F’（Y）.

[編輯本段]⒈ 反函數(shù)的定義

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系,用y把x表示出,得到x= f(y).若對于y在C中的任何一個值,通過x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng),那么,x= f(y)就表示y是自變量,x是因變量y的函數(shù),這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù),記作x=f‘(y).反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.

說明：⑴在函數(shù)x=f’(y)中,y是自變量,x是函數(shù),但習(xí)慣上,我們一般用x表示自變量,用y 表示函數(shù),為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f‘(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f’(x),今后凡無特別說明,函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式.

⑵反函數(shù)也是函數(shù),因為它符合函數(shù)的定義.從反函數(shù)的定義可知,對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說,不一定有反函數(shù),若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f‘(x),那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f(x),這就是說,函數(shù)y=f(x)與y=f‘(x)互為反函數(shù).

⑶從映射的定義可知,函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函數(shù)y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的定義域（如下表）：

函數(shù)y=f(x) 反函數(shù)y=f’(x)

定義域 A C

值 域 C A

⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：

若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f’(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).反函數(shù)x=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.

開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f’(t)=t/v,同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6,則它的反函數(shù)為：f‘(x)=x/2-3.

有時是反函數(shù)需要進行分類討論,如：f(x)=X+1/X,需將X進行分類討論：在X大于0時的情況,X小于0的情況,多是要注意的.一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函數(shù)的應(yīng)用：

直接求原函數(shù)的值域困難時,可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域,求反函數(shù)的步驟是這樣的

1.先求出反函數(shù)的定義域,因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域

（我們知道函數(shù)的三要素是定義域,值域,對應(yīng)法則,所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步）

2.反解x,也就是用y來表示x

3.改寫,交換位置,也就是把x改成y,把y改成x

4.寫出原函數(shù)及其值域

如何判斷一個函數(shù)是否是反函數(shù)？

只要是一一映射就有反函數(shù)

換句話說，只要原函數(shù)一個y對應(yīng)且僅對應(yīng)一個x

判斷函數(shù)是否為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)一定具有反函數(shù)。判斷嚴(yán)格單調(diào)可以用

【急急急】【懸賞】怎么判斷是否是反函數(shù)

函數(shù)定義的實質(zhì)：對自變量x的每一個取值，都有唯一的函數(shù)值y與之對應(yīng)。因此，判斷是否是函數(shù)關(guān)系時，多對一，一對一，這都是函數(shù)，但一對多，就違背了函數(shù)定義。1、存在反函數(shù)的函數(shù)，一定是一對一的，即一一對應(yīng)關(guān)系。2、作圖法，判斷函數(shù)，在圖像上豎著畫直線（即任意畫一條與y軸平行的直線），與圖像至多一個交點，則是函數(shù)；判斷是否存在反函數(shù)，在原函數(shù)圖像上橫著畫直線（即任意畫一條與x軸平行的直線），與圖像至多一個交點，則原函數(shù)存在反函數(shù)。否則不存在反函數(shù)。3、解析法，在求反函數(shù)時，解析式不唯一，通常是不能確定正負(fù)，則反函數(shù)不存在。4、單調(diào)性法，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)的。

當(dāng)前名稱：判斷反函數(shù)python,判斷反函數(shù)的方法
文章鏈接：http://chinadenli.net/article31/dsehopd.html

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