求陰影面積，要算式！

解：矩形ABCD，寬AB=CD=4cm，長(zhǎng)BC=DA=8cm，已經(jīng)畫出的對(duì)角線是AC，A在左上角，

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C在右下角。兩個(gè)半圓與對(duì)角線AC一定相交于一點(diǎn)，設(shè)此交點(diǎn)為E，△ABE和△BCE都是直

角三角形.

大半圓的面積S?=(1/2)π×42=8π；RT△BEC的面積S?；小半圓的面積S?=(1/2)π×22=2π；

RT△ABE的面積S?；S?+S?=RT△ABC的面積=(1/2) ×8×4=16(cm2))

∴陰影部分的面積S=(S?-S?)+(S?-S?)=S?+S?-(S?+S?)=8π+2π-16=10π-16(cm2)

數(shù)學(xué)思想方法揭秘-25后記10(原創(chuàng))

先看下定角定高問(wèn)題，如下圖

先討論 為銳角的情況，如下圖，O是三角形ABC外接圓圓心。

當(dāng) 為直角或鈍角時(shí)，上述結(jié)論也成立。

這篇用另一種方法，局部調(diào)整法來(lái)證明定角定高問(wèn)題。

局部調(diào)整法在前面使用過(guò)幾次，例如數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-3的第4題、揭秘-5的30題和31題。

局部調(diào)整一般用在動(dòng)態(tài)變化的情況下求最值(最大值、最小值、最優(yōu)、最差)極值或探求遞增遞減或正向負(fù)向的變化趨勢(shì)，它通過(guò)對(duì)問(wèn)題在某一狀態(tài)的情況case進(jìn)行調(diào)整，得到另一狀態(tài)下的case，比較調(diào)整前后這兩種case情況下結(jié)論的變化趨勢(shì)。

可把局部調(diào)整法理解為粗略的定性形式的微積分求導(dǎo)：調(diào)整就對(duì)應(yīng)dx，比較調(diào)整前后結(jié)論的變化就是函數(shù)的差值dy，分析dy的變化趨勢(shì)是增大還是減少。可以結(jié)合恩格斯關(guān)于微積分的一段話來(lái)對(duì)比理解局部調(diào)整法與微積分求導(dǎo)的類同，他說(shuō)”只有微積分才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅表明狀態(tài)，并且也表明過(guò)程:運(yùn)動(dòng)。”。局部調(diào)整法既有靜止的狀態(tài)，也有運(yùn)動(dòng)，調(diào)整就是運(yùn)動(dòng)變化，通過(guò)調(diào)整改變函數(shù)自變量，從一個(gè)狀態(tài)(取值)變到另一狀態(tài)，再分析變化后對(duì)應(yīng)的因變量的變化趨勢(shì)。

局部調(diào)整法和爬山法也比較類似。

局部調(diào)整可分為單次調(diào)整或多次重復(fù)調(diào)整。

在碰到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、不等式、求最優(yōu)解問(wèn)題時(shí)，局部調(diào)整法或局部調(diào)整思想是我們思維工具箱中很重要的一種思想方法。

這里用初中數(shù)學(xué)的定角定高求最小面積(最小邊長(zhǎng))或確定三角形的形狀來(lái)講解局部調(diào)整法的運(yùn)用。

問(wèn)題1 ：如下圖，已知三角形ABC中，角A大小為一固定值， 且為銳角 ，BC邊上的高AD也為一固定值。當(dāng)三角形ABC面積最小時(shí)，它是什么三角形(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)？

這道題可理解為B、C為動(dòng)點(diǎn)，但BC邊對(duì)的角A和高AD是定值。角A為銳角，三角形可為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，所以要分類討論。如果角A為直角或鈍角，顯然不存在這種分類討論。

解題思維過(guò)程：

因?yàn)楦逜D為定值，顯然三角形面積和BC邊的長(zhǎng)度成正比，面積越大,BC邊越大，面積越小邊越小，反之亦然。

我們選取直角三角形為起點(diǎn)，可以把這個(gè)直角三角形理解為三角形的當(dāng)前狀態(tài)或函數(shù)自變量(三角形形狀，初始形狀取值為直角三角形)，將它調(diào)整為銳角和鈍角三角形(調(diào)整后的狀態(tài)，自變量的取值從直角三角形變?yōu)殇J角三角形或鈍角三角形)來(lái)研究BC長(zhǎng)度(這個(gè)長(zhǎng)度就是函數(shù)因變量)的變化趨勢(shì)。

首先調(diào)整為銳角三角形，如下圖。

再調(diào)整為鈍角三角形，如下圖。

所以可知：

1）在定角(銳角)定高情況下，當(dāng)三角形面積最小時(shí)，必為銳角三角形。

2）隨著銳角三角形變?yōu)橹苯侨切?再?gòu)闹苯亲優(yōu)殁g角三角形時(shí)，面積是遞增的。

3）在鈍角三角形情況下(假設(shè)角B為鈍角)，AB邊和高AD的夾角 越大，三角形ABC的面積越大、BC邊越大，如下圖。

4）從銳角三角形調(diào)整為(變?yōu)?直角三角形，再?gòu)闹苯侨切握{(diào)整為鈍角三角形，三角形周長(zhǎng)是遞增的，省略證明。

問(wèn)題2 ：在定角(銳角)定高情況下，求三角形的最小面積。

利用問(wèn)題1的結(jié)論，可知面積最小時(shí)必為銳角三角形。解題思維過(guò)程如下圖。

結(jié)論：

1）三角形為等腰(AB=AC)時(shí)面積最小(高AD也是角BAC的角平分線)，用符號(hào) 分別表示定角和定高，可得最小面積為 ，BC最小為 。

高中階段用三角函數(shù)也可得出等腰時(shí)面積最小，也就是BC邊長(zhǎng)最小，如下面兩張圖。

2）由上圖的調(diào)整可得出，在角A為銳角情況下，角B或角C越接近90度，則面積越大、BC越大。例如角A為40度，AD為1，則角B為60度時(shí)的BC小于角B為89度時(shí)的BC，角B為89度時(shí)的BC小于角B為89.5度時(shí)的BC。也就是此時(shí)的三角形趨向直角時(shí)，面積是遞增的，越來(lái)越大，面積的極限(最大值)就是直角時(shí)的面積 ，BC的極限是 。

3）由1)和2)可知，A為銳角時(shí)，三角形面積和BC有最小值，但沒(méi)有最大值，最大值只能趨向2)中的極限，但取不到極限，也就是沒(méi)有最大，只有更大。

問(wèn)題3 ：?jiǎn)栴}2是針對(duì)定角為銳角時(shí)的結(jié)論，對(duì)問(wèn)題2作下一般化的推廣，求定角 定高 情況下，三角形的最小面積和BC的最小邊長(zhǎng)和最大極限。

分類討論：

a)當(dāng)定角為銳角時(shí)，根據(jù)問(wèn)題2的結(jié)論，此時(shí)三角形為等腰三角形。最大值極限見問(wèn)題2。

b)當(dāng)定角為直角時(shí)，參照上面的銳角三角形的證明方法，同理用局部調(diào)整法可證明為等腰直角三角形時(shí)面積最小，BC邊長(zhǎng)最小。也可用射影定理加基本不等式或勾股定理加基本不等式或高中三角函數(shù)(最簡(jiǎn)單)，射影定理和三角函數(shù)法如下圖。

當(dāng)角B或角C趨向90時(shí)，面積和BC均遞增，趨向無(wú)窮大，高AD趨向直角邊。

c）當(dāng)定角為鈍角時(shí)，同理可用局部調(diào)整法證明等腰三角形時(shí)面積最小、BC邊長(zhǎng)最小。當(dāng)角B或角C趨向180-角A時(shí)，面積和BC遞增，均趨向無(wú)窮大。同理也可用三角函數(shù)法。

如果用局部調(diào)整法，b和c兩種情況可合為一種情況。

如果引用問(wèn)題1的結(jié)論：定角為銳角時(shí)，如三角形面積最小則必為銳角三角形。則本問(wèn)題使用三角函數(shù)法就不用分類討論，因?yàn)闊o(wú)論定角的大小，垂足一定在線段BC內(nèi)部，如圖。

綜合上述三種情況可得：無(wú)論定角A是銳角還是直角或鈍角，當(dāng)其為等腰三角形(AB=AC)時(shí)面積最小 ，BC最小 。最大值極限：角A為銳角時(shí)存在；角A為直角或鈍角時(shí)，無(wú)最大值極限，或極限為無(wú)窮大。

總結(jié)：定角定高求面積最小值問(wèn)題難在定角為銳角時(shí)要進(jìn)行分類討論，難在初中階段沒(méi)學(xué)過(guò)三角函數(shù)的和差公式，在初中適合用局部調(diào)整法得出定性的結(jié)論：為等腰時(shí)面積最小。

問(wèn)題4： 已知三角形ABC的角A為45度，高AD為2，求三角形的最小面積。

這道題套用問(wèn)題2的結(jié)論。但對(duì)初中生，沒(méi)學(xué)過(guò)用三角函數(shù)如萬(wàn)能公式求22.5度的正切值。

初中階段解這道題，有多種方法。

首先利用前面的結(jié)論，面積最小時(shí)，三角形為等腰三角形，AB=AC，高AD為中垂線。

方法1：聯(lián)想到圓心角是圓周角的2倍，故圓心角為90度，作外接圓O。

角BOC=2倍角A=90度，故三角形BOC為等腰直角三角形。R為半徑，BD=DC=OD= ，AO=BO=OC=R。

由AO+OD=AD=2可求出R，其余省略。

方法2：聯(lián)想到對(duì)稱，以AB對(duì)對(duì)稱軸，作AD的對(duì)稱線AD1，同理以AC為對(duì)稱作AD2，延長(zhǎng)D1B和D2C交于點(diǎn)E，易證AD1ED2為正方形，且邊長(zhǎng)等于AD。

方法3，由45度，容易聯(lián)想到作高BE,再利用勾股定理和相似列方程。

其他兩種可能的方法如下圖，自行思考下。

問(wèn)題5.

如下圖，在矩形ABCD中，AD=1，AB= ，點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)G為DC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 求線段FG的最大值。

解題思維過(guò)程：

FG的最大值不能超過(guò)DC，F(xiàn)、G不能超出DC線段，也就是其最大值是受限的，受約束的。

根據(jù)前面的結(jié)論，F(xiàn)G取最大值時(shí)，三角形形狀按可能性大小從大到小排列順序?yàn)椋衡g角三角形-直角三角形- 銳角三角形。易知EFG可為等腰直角，此時(shí)FG為1，小于DC，還有增大FG的調(diào)整空間(根據(jù)前面得出的結(jié)論，增大FG就是將直角三角形EFG變成鈍角三角形，此時(shí)FG雖然增大，但F、G點(diǎn)仍在DC線段內(nèi))，也就是可將直角三角形調(diào)整為鈍角三角形(角EFG或EGF為鈍角)，F(xiàn)G變大(大于1)，所以FG取最大值時(shí)，三角形EFG必為鈍角三角形。

為什么需要上面的論述？是因?yàn)镕G大小是受約束的，不能超過(guò)DC長(zhǎng)度。如果AB過(guò)小，則FG取最大值時(shí)，三角形EFG有可能不能為鈍角。例如將題目修改下：ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，角FEG仍為45度。此時(shí)EFG為直角三角形ADC時(shí)，F(xiàn)G就已經(jīng)=DC=1了,? 顯然FG取最大值時(shí)，EFG不能為鈍角三角形。

得出FG取最大值時(shí)EFG形狀必為鈍角三角形之后，不妨設(shè)角EFG為鈍角(角EGF為鈍角時(shí)結(jié)論是一樣的)，如果FG取最大值時(shí)E點(diǎn)不在A點(diǎn)，就將三角形EFG平移使E點(diǎn)與A重合，如下圖。這個(gè)平移也是調(diào)整！還有將G點(diǎn)調(diào)整為與C點(diǎn)重合。

如果要求FG的最小值，怎么求?

根據(jù)前面的結(jié)論，當(dāng)EFG為等腰三角形(EF=EG) 時(shí)最小，如圖設(shè)外接圓圓心為O,EO=FO=GO=r,角FOG=2*45=90，F(xiàn)OG為等腰直角三角形，作OD垂直于FG于D。E、O、D三點(diǎn)共線，OD=FD=DG= .

也可不用結(jié)論來(lái)求FG最小值，如下圖，也可得出為等腰三角形時(shí)FG最小。

下圖中，長(zhǎng)方形被兩條直線分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，其中三個(gè)的面積分別是12平方米、8平方米、20平方米，求另一個(gè)

解:如上圖,EF和GH把長(zhǎng)方形ABCD分為四個(gè)小長(zhǎng)方形.(單位:平方米)

則S長(zhǎng)方形BFOH/S長(zhǎng)方形HOEA=(OFxOH)/(OExOH)=OF/OE.

即S長(zhǎng)方形BFOH/20=OF/OE,

∴S長(zhǎng)方形BFOH=20x(OF/OE);

同理可知:S長(zhǎng)方形FCOG/S長(zhǎng)方形OGDE=(OFxOG)/(OExOG)=OF/OE.

即12/8=OF/OE.

所以,S長(zhǎng)方形BFOH=20x(OF/OE)=20x(12/8)=30(平方米).

數(shù)學(xué)圖形問(wèn)題，求高手解決！

△COI的面積為9平方厘米 S△COI=OH*BH=二分之一長(zhǎng)方形HBFO，所以長(zhǎng)方形HBFO面積為18，而長(zhǎng)方形AHOE面積為長(zhǎng)方形HBFO的三分之一，所以長(zhǎng)方形AHOE面積為6，所以長(zhǎng)方形ABFE面積為24，所以大長(zhǎng)方形面積為96

望采納！！！

面積是9,7,4 長(zhǎng)方形

根據(jù)題干分析可得設(shè)長(zhǎng)方形EBGO的面積是x，則可得出比例式為：

x：7=9：4

4x=63

x=15.75

即長(zhǎng)方形EBGO的面積是15.75，

大長(zhǎng)方形ABCD的面積是：9+4+7+15.75=35.75，

所以三角形HBF的面積是：35.75-（9+15.75）÷2-4÷2-（15.75+7）÷2

=35.75-12.375-2-11.375

=10

答：三角形HBF的面積是10．

文章名稱：包含go語(yǔ)言解最大矩形面積的詞條
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