python:5種正態(tài)性檢驗(yàn)方法

1.直方圖

成都創(chuàng)新互聯(lián)長期為1000多家客戶提供的網(wǎng)站建設(shè)服務(wù)，團(tuán)隊(duì)從業(yè)經(jīng)驗(yàn)10年，關(guān)注不同地域、不同群體，并針對不同對象提供差異化的產(chǎn)品和服務(wù)；打造開放共贏平臺，與合作伙伴共同營造健康的互聯(lián)網(wǎng)生態(tài)環(huán)境。為霍山企業(yè)提供專業(yè)的成都網(wǎng)站制作、成都網(wǎng)站設(shè)計(jì)，霍山網(wǎng)站改版等技術(shù)服務(wù)。擁有10多年豐富建站經(jīng)驗(yàn)和眾多成功案例,為您定制開發(fā)。

由于正態(tài)分布具有非常典型的中間高，兩邊低的圖形特征，如果樣本數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布，我們可以通過直方圖很快地分辨出來。更進(jìn)一步地，Python可以輔助生成基于樣本數(shù)據(jù)估計(jì)的正態(tài)曲線，這樣就容易輔助我們進(jìn)行判斷。

圖形觀察雖然直觀，但是部分研究者認(rèn)為單純觀察圖形過于主觀，因此我們也可以選擇使用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法去研究數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。

操作步驟：

導(dǎo)入相關(guān)的包及數(shù)據(jù)

2 P-P圖及Q-Q圖

直方圖是最長用于觀察數(shù)據(jù)分布的常用圖形選項(xiàng)，尤其是帶正態(tài)曲線的直方圖，可以非常直觀地看到實(shí)際數(shù)據(jù)分布和正態(tài)曲線的對比，而P-P圖及Q-Q圖則是另一種選擇，它可以直觀給出實(shí)際數(shù)據(jù)分布和理論的差距。

值得注意的是，雖然P-P圖及Q-Q圖常用用于判斷數(shù)據(jù)樣本是否服從正態(tài)分布，但實(shí)際上它們也能判斷數(shù)據(jù)樣本是否服從其他的分布

P-P圖:反映的是數(shù)據(jù)的實(shí)際累積概率與假定所服從分布的理論累積概率的符合程度。在此處，我們所假定的分布就是正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)樣本是服從正態(tài)分布的話，那么實(shí)際的累積概率與理論的累積概率應(yīng)該是相對一致的，放映在圖形中就是數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)該沿著圖形的對角線分布。

Q-Q圖的原理與P-P圖幾乎一致。P-P圖考察的是實(shí)際分布與理論分布的累積概率分布差異，而Q-Q圖考察的是實(shí)際百分位數(shù)與理論百分位數(shù)的差異。同理在此處，我們所假定的分布就是正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)樣本是服從正態(tài)分布的話，那么實(shí)際的分布應(yīng)該是相對一致的，反映在圖形中就是數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)該沿著圖形的對角線分布。

在Python中，statsmodels包中目前主要提供的是Q-Q圖的繪制

柯爾莫戈洛夫-斯米諾夫檢驗(yàn)（Kolmogorov-Smirnov test），一般又稱K-S檢驗(yàn)，是一種基于累計(jì)分布函數(shù)的非參數(shù)檢驗(yàn)，用以檢驗(yàn)兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否不同或一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布與另一個(gè)理想分布是否不同。

K-S檢驗(yàn)的原假設(shè)是“樣本數(shù)據(jù)來自的分布與正態(tài)分布無顯著差異”，因此一般來說，KS檢驗(yàn)最終返回兩個(gè)結(jié)果，分別是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及P值,檢驗(yàn)結(jié)果P0.05才是我們的目標(biāo)。

實(shí)際上，GraphPad不推薦使用單純的Kolmogorov-Smirnov test方法

夏皮洛-威爾克檢驗(yàn)（Shapiro—Wilk test），一般又稱W檢驗(yàn)。W檢驗(yàn)是一種類似于利用秩進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的方法。同樣需要注意的是，W檢驗(yàn)與K-S檢驗(yàn)一樣，原假設(shè)是“樣本數(shù)據(jù)來自的分布與正態(tài)分布無顯著差異”，因此一般來說，W檢驗(yàn)最終返回兩個(gè)結(jié)果，分別是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及P值。,檢驗(yàn)結(jié)果P0.05才是我們的目標(biāo)。

當(dāng)數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)無重復(fù)值時(shí)，該方法的檢驗(yàn)效果比較好，但是當(dāng)數(shù)據(jù)集中有些數(shù)據(jù)不是獨(dú)一無二的，即有些數(shù)據(jù)的數(shù)值是相同的，那么該方法的檢驗(yàn)效果就不是很好

GraphPad官方推薦使用該方法。

首先計(jì)算 偏度和峰度以便在不對稱和形狀方面量化分布離高斯分布的距離。然后，其計(jì)算這些值中的每一個(gè)與高斯分布的預(yù)期值之間的差異，并基于這些差異的總和，計(jì)算各P值。這是一種通用和強(qiáng)大的正態(tài)性檢驗(yàn)，推薦使用。請注意，D'Agostino開發(fā)了幾種正態(tài)性檢驗(yàn)。Prism使用的其中一個(gè)是“綜合K2”檢驗(yàn)。

安德森-達(dá)令檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來自特定分布，包括分布：'norm', 'expon', 'gumbel', 'extreme1' or 'logistic'.

原假設(shè) H0：樣本服從特定分布； 備擇假設(shè) H1：樣本不服從特定分布

實(shí)際上，從已有的文獻(xiàn)表明，對于數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性研究，首選方法是圖形觀察，即利用直方圖、P-P圖或Q-Q圖進(jìn)行觀察，如果分布嚴(yán)重偏態(tài)和尖峰分布則建議進(jìn)行進(jìn)一步的假設(shè)檢驗(yàn)。如果圖形分布結(jié)果不好判斷，則再進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

實(shí)際上，從已有的文獻(xiàn)表明，對于數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性研究，首選方法是圖形觀察，即利用直方圖、P-P圖或Q-Q圖進(jìn)行觀察，如果分布嚴(yán)重偏態(tài)和尖峰分布則建議進(jìn)行進(jìn)一步的假設(shè)檢驗(yàn)。如果圖形分布結(jié)果不好判斷，則再進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

其次，對于檢驗(yàn)方法來說，對于K-S檢驗(yàn)及W檢驗(yàn)結(jié)果來說，有文獻(xiàn)采用蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行多次驗(yàn)證，結(jié)果表明W檢驗(yàn)結(jié)果相比于大部分方法都有較大的檢驗(yàn)功效，而K-S方法的檢驗(yàn)結(jié)果相對不佳。并且部分學(xué)者認(rèn)為，K-S檢驗(yàn)的實(shí)用性遠(yuǎn)不如圖形工具，因?yàn)樵跇颖玖可贂r(shí)，該檢驗(yàn)不太敏感，但是在樣本量大時(shí)，該檢驗(yàn)卻過于敏感。因此正常情況下，我們更常采用W檢驗(yàn)的結(jié)果。

值得注意的是，雖然說K-S檢驗(yàn)結(jié)果相對不佳，但是不同檢驗(yàn)方法對于樣本量的敏感度是不一樣的。在樣本量較小的情況下（小于50個(gè)樣本的情況下），請優(yōu)先選擇W檢驗(yàn)；在樣本量50-5000的情況下，可以酌情使用W檢驗(yàn)及K—S檢驗(yàn)；在樣本量大于5000的情況下，請使用K-S檢驗(yàn)結(jié)果，尤其是在SPSS中，當(dāng)樣本量大于5000的情況下，將只顯示K-S檢驗(yàn)結(jié)果，而不顯示W(wǎng)檢驗(yàn)結(jié)果。

統(tǒng)計(jì)學(xué)入門級：常見概率分布+python繪制分布圖

如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以逐個(gè)列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有二項(xiàng)分布，泊松分布。

如果隨機(jī)變量X的所有取值無法逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有正態(tài)分布，均勻分布，指數(shù)分布，伽馬分布，偏態(tài)分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)

在離散型隨機(jī)變量X的一切可能值中，各可能值與其對應(yīng)概率的乘積之和稱為該隨機(jī)變量X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機(jī)變量，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。

期望值也就是該隨機(jī)變量總體的均值。 推導(dǎo)過程如下：

= (2+2+2+4+5)/5

= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5

= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5

= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5

= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5

= 1.2 + 0.8 + 1

= 3

倒數(shù)第三步可以解釋為值為2的數(shù)字出現(xiàn)的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。

0-1分布（兩點(diǎn)分布），它的隨機(jī)變量的取值為1或0。即離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。

在生活中有很多例子服從兩點(diǎn)分布，比如投資是否中標(biāo)，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產(chǎn)品是否合格等等。

大家非常熟悉的拋硬幣試驗(yàn)對應(yīng)的分布就是二項(xiàng)分布。拋硬幣試驗(yàn)要么出現(xiàn)正面，要么就是反面，只包含這兩個(gè)結(jié)果。出現(xiàn)正面的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，這種隨機(jī)變量所服從的概率分布通常稱為 二項(xiàng)分布 。

像拋硬幣這類試驗(yàn)所具有的共同性質(zhì)總結(jié)如下：（以拋硬幣為例）

通常稱具有上述特征的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。簡稱伯努利試驗(yàn)或伯努利試驗(yàn)概型。特別地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布服從0-1分布(兩點(diǎn)分布)。

舉個(gè)栗子：拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率 。

已知p = 0.5 (出現(xiàn)正面的概率) ，n = 3 ，k = 2

所以拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率為3/8。

二項(xiàng)分布的期望值和方差 分別為：

泊松分布是用來描述在一 指定時(shí)間范圍內(nèi)或在指定的面積或體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產(chǎn)中介接待的客戶數(shù)，某微博每月出現(xiàn)服務(wù)器癱瘓的次數(shù)等等。 泊松分布的公式為 ：

其中 λ 為給定的時(shí)間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)，λ = np。e為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，其值約為2.71828。

泊松分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：

因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值，所以通常用一個(gè)函數(shù)f(x)來表示連續(xù)型隨機(jī)變量，而f(x)就稱為 概率密度函數(shù) 。

概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質(zhì) ：

需要注意的是，f(x)不是一個(gè)概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續(xù)分布的情況下，隨機(jī)變量X在a與b之間的概率可以寫成：

正態(tài)分布（或高斯分布）是連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要也是最常見的分布，比如學(xué)生的考試成績就呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特征，大部分成績集中在某個(gè)范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。

正態(tài)分布的定義 ：

如果隨機(jī)變量X的概率密度為( -∞x+∞)：

則稱X服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。其中-∞μ+∞，σ0， μ為隨機(jī)變量X的均值，σ為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。 正態(tài)分布的分布函數(shù)

正態(tài)分布的圖形特點(diǎn) ：

使用Python繪制正態(tài)分布的概率分布圖：

正態(tài)分布有一個(gè)3σ準(zhǔn)則，即數(shù)值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說大部分?jǐn)?shù)值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬于極個(gè)別的小概率事件，所以3σ準(zhǔn)則可以用來檢測異常值。

當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，有

此時(shí)的正態(tài)分布N(0,1) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因?yàn)棣?，σ都是確定的取值，所以其對應(yīng)的概率密度曲線是一條 形態(tài)固定 的曲線。

對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通常用φ(x)表示概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)：

假設(shè)有一次物理考試特別難，滿分100分，全班只有大概20個(gè)人及格。與此同時(shí)語文考試很簡單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語文分別考了60分和80分，他回家后告訴家長，這時(shí)家長能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語文成績要比物理好很多嗎？如果不能，應(yīng)該如何判斷呢？此時(shí)Z-score就派上用場了。 Z-Score的計(jì)算定義 ：

即 將隨機(jī)變量X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)啦。如果X低于平均值，則Z為負(fù)數(shù)，反之為正數(shù) 。通過計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，可以將任何一個(gè)一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

小明家長從老師那得知物理的全班平均成績?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而語文的平均成績?yōu)?2分，標(biāo)準(zhǔn)差為4。分別計(jì)算兩科成績的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：

物理：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (60-40)/10 = 2

語文：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (85-95)/4 = -2.5

從計(jì)算結(jié)果來看，說明這次考試小明的物理成績在全部同學(xué)中算是考得很不錯(cuò)的，而語文考得很差。

指數(shù)分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強(qiáng)調(diào)的是某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，而指數(shù)分布說的是 隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進(jìn)站的間隔時(shí)間。如果隨機(jī)變量X的概率密度為：

則稱X服從指數(shù)分布，其中的參數(shù)λ0。 對應(yīng)的分布函數(shù) 為：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制指數(shù)分布的概率分布圖：

均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續(xù)型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，點(diǎn)數(shù)可能有1，2，3，4，5，6。每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的概率都是1/6。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：

則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。X在等長度的子區(qū)間內(nèi)取值的概率相同。對應(yīng)的分布函數(shù)為：

f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

如何使用python的matplotlib畫正弦函數(shù)圖像

使用python的matplotlib畫正弦函數(shù)圖像，還要用到numpy庫，代碼如下9行所示：

import numpy as np;

from matplotlib import pyplot as plt;

fig = plt.figure();

ax2= fig.add_subplot(111);

x=np.arange(0,100)/10;

y=np.sin(x);

ax2.plot(x,y);

plt.savefig('sine.png');

plt.show();

如何將已知數(shù)據(jù)用python寫成正態(tài)分布并且畫圖

import?numpy?as?np

import?matplotlib.pyplot?as?plt

y?=?[2,5,7,10,16,23,20,16,9,6,6,3,1,1]

x?=?[59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72]

fig,?ax?=?plt.subplots()

ax.bar(x,?y,?0.3,alpha=0.5,?color='b',label='abc')

plt.axis([55,75,0,25])

ax.set_xlabel('XXX')

ax.set_ylabel('YYY')

ax.set_title('ABC')

ax.legend()

fig.tight_layout()

plt.show()

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