誰(shuí)有最小二乘蒙特卡洛方法的美式期權(quán)定價(jià)python程序代碼

function [c,p]=ucoption(S,X,sigma,r,T,M) sig2=sigma^2; srT=sqrt(T); srTa=sigma*srT; c=0; p=0; for i=1:M ST=S*exp((r-0.5*sig2)*T+srTa*randn); c=c+max(ST-X,0); p=p+max(X-ST,0); end c=c/M; p=p/M; [Call,Put] = blsprice(S, X, r, T, ...

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Python是否有期權(quán)定價(jià)包

暫時(shí)沒(méi)有，不過(guò)如果是單用BS-option pricing的公式，其實(shí)很好編，基本上都是線性的函數(shù)。

期權(quán)的定價(jià)方法

這是一個(gè)老題目了，在知乎里也有一些類似的問(wèn)題，但總感覺(jué)所有回答都有所欠缺，所以希望在這里對(duì)所有的數(shù)值方法進(jìn)行一個(gè)梳理。按照我個(gè)人的分類，期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法分為五個(gè)大類：解析解方法，樹(shù)方法，偏微分方程數(shù)值解方法，蒙特卡洛方法，傅立葉變換方法。

1）解析解方法：

一個(gè)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，其實(shí)就是根據(jù)已知的隨機(jī)微分方程（SDE）模型，然后來(lái)求解關(guān)于這個(gè)隨機(jī)過(guò)程函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程。這也是為什么隨機(jī)微積分和Ito lemma會(huì)是金融工程的核心知識(shí)之一，因?yàn)镮to直接告訴了我們一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)所滿足的新SDE：

\rmokm4ossf(t, X_{t})=\frac{\partial f}{\partial t}\rmceccewqt + \frac{\partial f}{\partial X_t}\rmquqauaiX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2}\rm0uyagg0[X, X]_t

然后，如果我們可以求出這個(gè)SDE的解析解，那么一個(gè)歐式無(wú)路徑依賴期權(quán)的價(jià)格就是它在終值時(shí)刻折現(xiàn)的期望值。這就是一種期權(quán)定價(jià)的解析解方法，當(dāng)然你也可以利用PDE來(lái)求解，由于Feynman Kac定理的存在，PDE和條件期望的答案會(huì)是一致的。

而這類方法的優(yōu)點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的，一旦解析解存在，那么期權(quán)的價(jià)格公式計(jì)算速度就會(huì)非常之快，不論做擬合還是優(yōu)化都會(huì)有效率上質(zhì)的提升，而這類方法的缺點(diǎn)也很明顯，那就是，對(duì)于大部分模型和大部分奇異期權(quán)，解析解未必存在。

2）樹(shù)方法

之所以叫樹(shù)方法而不叫二叉樹(shù)，是因?yàn)槲覀円矊⒂懻撊鏄?shù)模型，但其實(shí)本質(zhì)思想是一模一樣的。

如果告知你了一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，那么你可以通過(guò)下述式子構(gòu)造一個(gè)N段的二叉樹(shù)的上下波動(dòng)：

u = \rm{e}^{\sigma\sqrt{T/N}}, d = \rm{e}^{-\sigma\sqrt{T/N}}

然后利用逆推，來(lái)得到初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格。

那么三叉樹(shù)呢？首先要明白一個(gè)道理，除了滿足了下列條件的三叉樹(shù)模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其余的三叉樹(shù)都是incomplete market。在其余的樹(shù)模型下，我們只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而這獨(dú)有的一種三叉樹(shù)模型，也成為了最常用的樹(shù)模型之一。或許有人好奇為什么有二叉樹(shù)了，還有人使用更麻煩的三叉樹(shù)。這是因?yàn)槿鏄?shù)的收斂速度要高于二叉樹(shù)。

那么樹(shù)模型的優(yōu)缺點(diǎn)又是什么呢？樹(shù)模型有一個(gè)任何連續(xù)時(shí)間模型都無(wú)法取代的優(yōu)點(diǎn)，那就是每一個(gè)定價(jià)，在樹(shù)模型里，不論美式、歐式、路徑依賴、奇異，通過(guò)Backward Induction Principle得到價(jià)格，永遠(yuǎn)都是伴隨著顯式對(duì)沖策略的。而在連續(xù)時(shí)間模型里，想獲得連續(xù)時(shí)間對(duì)沖策略的這類問(wèn)題，是一個(gè)倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）問(wèn)題，有很多時(shí)候并不是那么好解決的，尤其是當(dāng)期權(quán)有奇異或美式屬性的時(shí)候。

另一方面，樹(shù)模型缺點(diǎn)也顯而易見(jiàn)，高維度問(wèn)題樹(shù)模型是不能解決的，所以對(duì)于多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的問(wèn)題，尤其是具有相關(guān)系數(shù)的資產(chǎn)，我們只能訴之于他法。而從速度上來(lái)講，樹(shù)模型的收斂速度是要低于PDE方法的。

3）PDE方法

很多對(duì)于quantitative finance陌生的人也會(huì)聽(tīng)說(shuō)過(guò)Black Scholes PDE。而實(shí)際上，不同的隨機(jī)模型，都會(huì)對(duì)應(yīng)不同的PDE。BS PDE只不過(guò)是單資產(chǎn)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)模型的PDE表達(dá)罷了。因?yàn)閷?duì)于期權(quán)，我們往往知曉它最終到期日的payoff，所以我們用payoff函數(shù)來(lái)作為這個(gè)PDE的終值條件。

如果PDE存在解析解，最優(yōu)辦法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我們就必須訴諸數(shù)值方法。最常用的數(shù)值解方法就是有限差分，也就是將所有變量構(gòu)造一個(gè)網(wǎng)格，然后利用網(wǎng)格上的差分方法來(lái)估計(jì)偏導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而將PDE問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。而對(duì)于期權(quán)定價(jià)的PDE，我們會(huì)根據(jù)期權(quán)的性質(zhì)，獲得這個(gè)PDE終值條件和邊值條件。然而，有時(shí)候根據(jù)不同的模型，我們可能得到的并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了積分項(xiàng)，這時(shí)候，我們需要同時(shí)再借助數(shù)值積分來(lái)完成數(shù)值計(jì)算。

PDE的數(shù)值問(wèn)題自然還有很多的選擇，有限元、譜方法都在列。但期權(quán)定價(jià)PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非線性程度，邊界也并沒(méi)有那么奇怪，所以基本上有限差分是可以解決絕大部分問(wèn)題的。

有限差分法分三種：顯式差分，隱式差分，交錯(cuò)差分。我們不深入研究算法，但幾個(gè)點(diǎn)就是：穩(wěn)定性上，顯式差分是條件穩(wěn)定的，另外兩種都是無(wú)條件穩(wěn)定；計(jì)算復(fù)雜度上，顯示最簡(jiǎn)單，隱式次之，交錯(cuò)最繁瑣；精確性上，顯式、隱式是同階的，交錯(cuò)差分的特殊情形，顯式和隱式各占一半時(shí)，也就是Crank-Nicolson差分，精度會(huì)在時(shí)間上也上升一階。

另外，在期權(quán)定價(jià)中PDE有兩大類，正向和倒向。傳統(tǒng)的BS PDE就是倒向的一個(gè)典型例子，它的終值條件就是期權(quán)的payoff function。而一個(gè)倒向PDE所對(duì)應(yīng)的正向PDE，它不再是期權(quán)價(jià)格滿足的PDE，而是這個(gè)標(biāo)的的“價(jià)格密度”所滿足的PDE。這個(gè)“價(jià)格密度”被稱為State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而這個(gè)在我之前的一篇文章有介紹過(guò)

Arrow Debreu price與快速擬合

而PDE方法的缺點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：路徑依賴問(wèn)題，高維度問(wèn)題。很多路徑依賴問(wèn)題的PDE形式是很麻煩，甚至無(wú)法表達(dá)的，比如亞氏期權(quán)，比如回望期權(quán)。而對(duì)于高維度問(wèn)題，如果PDE的數(shù)值方法會(huì)從平面網(wǎng)格上升到空間網(wǎng)格，在復(fù)雜度上不但繁瑣，而且在邊值條件上更難以控制。而PDE的優(yōu)點(diǎn)則是速度快，而且根據(jù)差分的數(shù)值方法，在計(jì)算Greeks的時(shí)候不需要加以再次的bumping計(jì)算。舉個(gè)例子，如果不降維，一個(gè)具有兩個(gè)assets的期權(quán)的有限差分就是這樣的一個(gè)立方網(wǎng)格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前應(yīng)用范圍最廣泛的方法了。因?yàn)椴淮嬖谔崆靶袡?quán)屬性的期權(quán)價(jià)格其實(shí)就是一個(gè)期望，所以我們就可以通過(guò)模擬很多的路徑，來(lái)用平均數(shù)估計(jì)真實(shí)期望。而美式或百慕大這種具有提前行權(quán)屬性的期權(quán)，它的期權(quán)價(jià)格其實(shí)是一個(gè)隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題。這類問(wèn)題我們可以采用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression來(lái)估計(jì)conditional NPV，然后再用蒙特卡洛求解當(dāng)前價(jià)值。

所以說(shuō)，蒙特卡洛方法是最為general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺點(diǎn)也是顯而易見(jiàn)：因?yàn)橐M上百萬(wàn)條路徑，而且對(duì)于奇異期權(quán)還要做路徑上的計(jì)算，美式更要做回歸，蒙特卡洛方法成為了計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的代名詞。但幸運(yùn)的是，我們有三種提速的方法：1，利用方差縮減，在保證方差恒定的基礎(chǔ)上，可以減少模擬路徑；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，減少complexity；3，利用GPU或超級(jí)計(jì)算機(jī)，進(jìn)行并行計(jì)算。

對(duì)于普通蒙特卡洛方法，上述三種方法都是可行的，而且GPU的提速是非常顯著的。對(duì)于方差縮減，得強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的就是，一般而言，最簡(jiǎn)單的方式是對(duì)偶變量，其次是控制變量，然后是利用條件期望，最難的是importance sampling，而在效果和適用范圍上，它們的排序往往是剛好相反的。比如美式期權(quán)的最小二乘蒙特卡洛，方差縮減的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

這里另外再著重強(qiáng)調(diào)一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模擬標(biāo)的路徑；其次，倒向在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，對(duì)所有路徑值進(jìn)行回歸，估算條件期望，直到初始時(shí)間點(diǎn)；最后，求平均。所以值得注意的一點(diǎn)就是，在這里，如果單純使用GPU cluster進(jìn)行提速，效果并不是很理想，因?yàn)槁窂侥M并不是最消耗時(shí)間的步驟，對(duì)所有路徑回歸才是。雖然如此，但其實(shí)還是可以用GPU cluster來(lái)對(duì)回歸精度加以提升，比如可以將路徑進(jìn)行歸類，然后將global regressor轉(zhuǎn)換成多個(gè)local regressor。

總的來(lái)說(shuō)，蒙特卡洛方法是期權(quán)定價(jià)中適用范圍最廣的數(shù)值方法，但也是最慢的方法。然而，我們可以利用方差縮減、復(fù)雜度縮減，以及GPU計(jì)算來(lái)優(yōu)化我們的蒙特卡洛算法，達(dá)到提速與增加精確性的目的。

5）傅立葉方法

傅立葉方法也被稱為特征函數(shù)法，利用的就是對(duì)于很多的模型，它們的特征函數(shù)往往是顯式表達(dá)的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process來(lái)決定的模型，因?yàn)樵谶@樣的情況下，我們有Levy-Khintchine representation，很多擬合性質(zhì)很好的過(guò)程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都屬于這一類。而特征函數(shù)實(shí)際上可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量的傅立葉變換，這也就是這個(gè)名字的由來(lái)。

如果我們有顯式表達(dá)的特征函數(shù)，我們可以通過(guò)傅立葉逆變換來(lái)得到原隨機(jī)變量的密度，進(jìn)而達(dá)到求解期權(quán)價(jià)格的目的。一般來(lái)講，這樣的方法要比PDE方法更加快速，因?yàn)閿?shù)值積分的速度要比微分方程數(shù)值解的速度要快。然而，這類方法的缺陷也是顯而易見(jiàn)的，路徑依賴性和維度問(wèn)題，以及我們必須要有顯式表達(dá)的特征函數(shù)。

總結(jié)：

在這里，我們只講一些面上的東西。具體深入的東西，我會(huì)在公眾號(hào)：衍生財(cái)經(jīng)上詳談。

如何編制Python函數(shù)運(yùn)用二叉樹(shù)定價(jià)模型進(jìn)行投資決策

1、首先，將編制Python函數(shù)從左到右生成二叉樹(shù)。

2、其次，根據(jù)生成的二叉樹(shù)，從右向左計(jì)算期權(quán)價(jià)值。

3、最后，計(jì)算完成后，即可進(jìn)行投資決策。

網(wǎng)站題目：python期權(quán)定價(jià)函數(shù),期權(quán)的定價(jià)公式
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