貝塞爾公式是什么？

貝塞爾公式是用x的偶次冪的無窮和來定義，數(shù)n稱為貝塞爾函數(shù)的階。

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利用柱坐標(biāo)求解涉及在圓、球與圓柱內(nèi)的勢(shì)場(chǎng)的物理問題時(shí)出現(xiàn)的一類特殊函數(shù)。又稱標(biāo)函數(shù)。用柱坐標(biāo)解拉普拉斯方程時(shí)，用到貝塞爾函數(shù)，它們和其他函數(shù)組合成柱調(diào)和函數(shù)。除初等函數(shù)外，在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最常用的函數(shù)。

它們以19世紀(jì)德國天文學(xué)家FW貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函數(shù)最早出現(xiàn)在涉及如懸鏈振蕩，長圓柱體冷卻以及緊張膜振動(dòng)的問題中。貝塞爾函數(shù)的一族，也稱第一類貝塞爾函數(shù)。

二類貝塞爾公式

第二類貝塞爾函數(shù)( 又稱諾伊曼函數(shù) )，記作Yn（x），它由第一類貝塞爾函數(shù)的簡(jiǎn)單組合來定義。第三類貝塞爾函數(shù)（亦稱漢克爾函數(shù)）定義為Hn＝Jn±iYn，其中i為虛數(shù)，用n階( 正或負(fù) )貝塞爾函數(shù)可解稱為貝塞爾方程的微分方程。

怎樣通俗易懂地解釋貝塞爾函數(shù)？

貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的總稱。通常單說的貝塞爾函數(shù)指第一類貝塞爾函數(shù)。這類方程的解是無法用初等函數(shù)系統(tǒng)地表示。

貝塞爾函數(shù)也被稱為柱諧函數(shù)、圓柱函數(shù)或圓柱諧波，因?yàn)樗麄兪怯诶绽狗匠淘趫A柱坐標(biāo)上的求解過程中被發(fā)現(xiàn)的。

貝塞爾函數(shù)的分類

利用柱坐標(biāo)求解涉及在圓、球與圓柱內(nèi)的勢(shì)場(chǎng)的物理問題時(shí)出現(xiàn)的一類特殊函數(shù)。又稱標(biāo)函數(shù)。用柱坐標(biāo)解拉普拉斯方程時(shí)，用到貝塞爾函數(shù)，它們和其他函數(shù)組合成柱調(diào)和函數(shù)。除初等函數(shù)外，在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最常用的函數(shù)，它們以19世紀(jì)德國天文學(xué)家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函數(shù)最早出現(xiàn)在涉及如懸鏈振蕩，長圓柱體冷卻以及緊張膜振動(dòng)的問題中。貝塞爾函數(shù)的一族，也稱第一類貝塞爾函數(shù)，記作 ，用 的偶次冪的無窮和來定義，數(shù) 稱為貝塞爾函數(shù)的階，它依賴于函數(shù)所要解決的問題。 的圖形像衰減的余弦曲線， 像衰減的正弦曲線(見圖)。第二類貝塞爾函數(shù)(又稱諾伊曼函數(shù))，記作 。當(dāng)n為非整數(shù)時(shí)， 可以由第一類貝塞爾函數(shù)的簡(jiǎn)單組合來定義；當(dāng) 為整數(shù)時(shí)， 不能由第一類貝塞爾函數(shù)的簡(jiǎn)單組合得到，此時(shí)需要通過一個(gè)求極限過程來計(jì)算函數(shù)值。第三類貝塞爾函數(shù)（亦稱漢克爾函數(shù)）定義為 ，其中 為虛數(shù)，用n階(正或負(fù))貝塞爾函數(shù)可解稱為貝塞爾方程的微分方程。

什么是第一類貝塞爾函數(shù)

第一類貝塞爾函數(shù)的形狀大致與按math1/\sqrt x /math速率衰減的正弦或三角函數(shù)|余弦函數(shù)類似，但它們的零點(diǎn)并不是周期性的，另外隨著''x''的增加，零點(diǎn)的間隔會(huì)越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數(shù)。

第一類貝塞爾函數(shù) (Bessel function of the firstkind)貝塞爾方程的第一解.

上式中

為Γ函數(shù)（它可視為階乘|階乘函數(shù)向非整型因變量和自變量|自變量的推廣）。第一類貝塞爾函數(shù)的形狀大致與按math1/\sqrt x /math速率衰減的正弦或三角函數(shù)|余弦函數(shù)類似，但它們的零點(diǎn)并不是周期性的，另外隨著''x''的增加，零點(diǎn)的間隔會(huì)越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數(shù)。

球貝塞爾函數(shù)

剛剛錯(cuò)了= =，現(xiàn)在看下對(duì)不對(duì)？

球貝塞爾函數(shù)

第一類球貝塞爾函數(shù)j_n (x)曲線（n = 0, 1, 2）

第二類球貝塞爾函數(shù)y_n (x)曲線（n = 0, 1, 2)

若使用分離變量法求解球坐標(biāo)下的三維拉普拉斯方程，則可得到如下形式關(guān)于徑向（"r"方向）分量的常微分方程：

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0

關(guān)于上述方程的一對(duì)線性無關(guān)解稱為'''球貝塞爾函數(shù)'''，分別用"j","n"和"y","n"表示（有時(shí)也記為"n","n"）。這兩個(gè)函數(shù)與一般貝塞爾函數(shù)''J''，''n''和''Y''，''n''存在關(guān)系：

j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),

y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).

球貝塞爾函數(shù)也可寫成：

j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac1111111{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x}

y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac1111111{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}

0階第一類球貝塞爾函數(shù)j_0(x)又稱為sinc函數(shù)。頭幾階整階球貝塞爾函數(shù)的表達(dá)式分別為：

第一類：

j_0(x)=\frac{\sin x} {x}

j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}

j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}

第二類：

y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}

y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}

y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.

還可以依照前面構(gòu)造漢開爾函數(shù)相同的步驟構(gòu)造所謂 U球漢開爾函數(shù)/U：

h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)

h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x)

事實(shí)上，所有半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)都可以寫成由三角函數(shù)組成的封閉形式的表達(dá)式，球貝塞爾函數(shù)也同樣可以。特別地，對(duì)所有非負(fù)整數(shù)''n''，存在：

h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!!}{(n-m)!!}

而對(duì)實(shí)自變量''x''，''h''，''n''， (2)是上面''h''，''n''， (1)的復(fù)共軛（!! 表示'''雙階乘|階乘'''）。由此我們可以通過得到''h''，再分離實(shí)部虛部，求出相應(yīng)階''j'' 和''h'' 的表達(dá)式，譬如''j''sub0/sub(''x'') = sin(''x'')/''x''，''y''sub0/sub(''x'') = -cos(''x'')/''x''，等等。

如何用C語言實(shí)現(xiàn)hankel函數(shù)

MATLAB提供了計(jì)算貝塞爾函數(shù)的函數(shù),具體包括：

besselj - 第一類貝塞爾函數(shù),或簡(jiǎn)稱貝塞爾函數(shù)；

bessely - 第二類貝塞爾函數(shù),又稱諾伊曼函數(shù)（Neumann function）；

besseli - 第一類修正貝塞爾函數(shù)；

besselk - 第二類修正貝塞爾函數(shù)；

besselh - 第三類貝塞爾函數(shù),又稱漢克爾函數(shù)（Hankel function）.

這幾個(gè)函數(shù)的調(diào)用語法基本相同,例如

J = besselj(nu,Z)

J = besselj(nu,Z,1)

[J,ierr] = besselj(nu,Z)

其中,nu為貝塞爾函數(shù)的階數(shù),Z為函數(shù)自變量.階數(shù)必須為實(shí)數(shù),但Z可以是復(fù)數(shù).

值得一提的是,上述函數(shù)是MATLAB基本模塊（也就是說不需要任何附加的工具箱）提供的特殊函數(shù),采用數(shù)值方法計(jì)算；而符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱則提供了第一和第二類的4個(gè)貝塞爾函數(shù),名稱和調(diào)用方式都與MATLAB基本系統(tǒng)的4個(gè)函數(shù)完全一致,但支持微分、積分等符號(hào)運(yùn)算.

標(biāo)題名稱：第一類貝塞爾函數(shù)c語言,第一類貝塞爾函數(shù)c語言是什么
當(dāng)前網(wǎng)址：http://chinadenli.net/article6/dsgceig.html

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